Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Post autor: Kalkulatorek » 19 paź 2017, o 16:18

Witam.

Niedawno zapoznałem się z w/w twierdzeniem. Chcąc je lepiej zrozumieć, pomyślałem o kilku przykładach. Jednym z nich jest ciąg \(\displaystyle{ a_n = \sin (n)}\). Ciąg ten jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 1}\), a z dołu przez \(\displaystyle{ -1}\). Mam jednak taki problem, że nie umiem znaleźć żadnego zbieżnego podciągu - okres funkcji sinus jest niewymierny.
W jaki sposób można znaleźć taki podciąg?
Ostatnio zmieniony 19 paź 2017, o 16:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3143
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1069 razy

Re: Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Post autor: Janusz Tracz » 19 paź 2017, o 19:19

Z twierdzenia wynika jedynie że dla nieskończonego ciągu ograniczonego istnieje podciąg zbieżny. Twierdzenie to nie mówi jednak w jaki sposób taki podciąg znaleźć a w tym przypadku okazuje się to trudne zobacz \(\displaystyle{ \rightarrow}\) TU. Jeśli chodzi o okres to nie ma tu znaczenia, to od Ciebie zależny w jaki sopsób wybierasz kolejne wyrazy możesz to określić funkcją jawną, rekurencyjnie, słownie czy jeszcze jakoś...

ODPOWIEDZ