Jeżeli zbiór A zawiera się w zbiorze B, to suma zbiorów A,B

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Jeżeli zbiór A zawiera się w zbiorze B, to suma zbiorów A,B

Post autor: Rozbitek » 19 paź 2017, o 09:45

Mamy dwa niepuste zbiory: \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), takie że: \(\displaystyle{ A \subset B}\).

Jeżeli \(\displaystyle{ A \cup B \Rightarrow B}\)

No i trzeba to udowodnić. Oto moje wypociny:

\(\displaystyle{ A \subset B \Leftrightarrow [(a \in A) \Rightarrow (a \in B)]}\) (Definicja inkluzji)

Z definicji sumy zbiorów wiemy, że: \(\displaystyle{ x \in (A \cup B) \Leftrightarrow x \in A \vee x \in B}\), więc jeżeli \(\displaystyle{ A \subset B}\) to z definicji inkluzji wynika, że: \(\displaystyle{ x \in A \vee x \in B \Rightarrow x \in B \vee x \in B \Leftrightarrow x \in B \cup B \Leftrightarrow x \in B}\)
Co było do okazania.

Jest dobrze?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27286
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Jeżeli zbiór A zawiera się w zbiorze B, to suma zbiorów A,B

Post autor: Jan Kraszewski » 19 paź 2017, o 11:03

Rozbitek pisze:Jeżeli \(\displaystyle{ A \cup B \Rightarrow B}\)
To zdanie nie ma sensu, a zapis matematyczny jest niepoprawny. Nie wiadomo zatem, co masz zrobić.
Rozbitek pisze:\(\displaystyle{ A \subset B \Leftrightarrow [(a \in A) \Rightarrow (a \in B)]}\) (Definicja inkluzji)
To nie jest definicja inkluzji.

JK

Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Jeżeli zbiór A zawiera się w zbiorze B, to suma zbiorów A,B

Post autor: Rozbitek » 20 paź 2017, o 00:18

Jan Kraszewski pisze:
Rozbitek pisze:Jeżeli \(\displaystyle{ A \cup B \Rightarrow B}\)
To zdanie nie ma sensu, a zapis matematyczny jest niepoprawny. Nie wiadomo zatem, co masz zrobić.
Chodzi o to, że suma zbiorów A i B jest zbiorem B.
Jan Kraszewski pisze:
Rozbitek pisze:\(\displaystyle{ A \subset B \Leftrightarrow [(a \in A) \Rightarrow (a \in B)]}\) (Definicja inkluzji)
To nie jest definicja inkluzji.
No to mnie oszukali w podręczniku.

Pierwszy błąd chyba widzę:

\(\displaystyle{ A \cup B = B}\)

Awatar użytkownika
karolex123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 728
Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: somewhere
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 124 razy

Re: Jeżeli zbiór A zawiera się w zbiorze B, to suma zbiorów

Post autor: karolex123 » 20 paź 2017, o 00:48

Rozbitek, wedle Twojej "defincji" inkluzji zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ 1,2\right\}}\) byłby pozbiorem zbioru \(\displaystyle{ B=\left\{ 2\right\}}\), bowiem \(\displaystyle{ 2 \in A \Rightarrow 2 \in B}\). Zabrakło kwantyfikatora (jakiego?)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27286
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Jeżeli zbiór A zawiera się w zbiorze B, to suma zbiorów A,B

Post autor: Jan Kraszewski » 20 paź 2017, o 08:10

Rozbitek pisze:No to mnie oszukali w podręczniku.
Nie sądzę - raczej Ty zastosowałeś podręcznikową definicję bez zrozumienia.

JK

Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Re: Jeżeli zbiór A zawiera się w zbiorze B, to suma zbiorów

Post autor: Rozbitek » 23 paź 2017, o 01:01

karolex123 pisze:Rozbitek, wedle Twojej "defincji" inkluzji zbiór \(\displaystyle{ A=\left\{ 1,2\right\}}\) byłby pozbiorem zbioru \(\displaystyle{ B=\left\{ 2\right\}}\), bowiem \(\displaystyle{ 2 \in A \Rightarrow 2 \in B}\). Zabrakło kwantyfikatora (jakiego?)
\(\displaystyle{ \forall a \in A}\) i teraz jest chyba OK?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27286
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: Jeżeli zbiór A zawiera się w zbiorze B, to suma zbiorów

Post autor: Jan Kraszewski » 23 paź 2017, o 08:18

Rozbitek pisze:\(\displaystyle{ \forall a \in A}\) i teraz jest chyba OK?
Definicja tak. Wpadałoby teraz w dowodzie zaznaczyć ten kwantyfikator, zaczynając go od "ustalmy dowolne \(\displaystyle{ a\in A\cup B}\)". Potem jest w zasadzie dobrze, choć dużo lepiej wyglądałoby to, gdybyś zapisał to samo rozumowanie zdaniami w języku polskim:

"Skoro \(\displaystyle{ a\in A\cup B}\), to \(\displaystyle{ a\in A}\) lub \(\displaystyle{ a\in B}\). Jeśli teraz \(\displaystyle{ a\in A}\), to z założenia \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ a\in B}\), zatem w obu przypadkach \(\displaystyle{ a\in B}\), czyli (z def. zawierania) \(\displaystyle{ A\cup B \subseteq B}\)."

Jak widzisz, jeśli tezą było \(\displaystyle{ A\cup B\red=\black B}\), to musisz jeszcze zauważyć, że \(\displaystyle{ B \subseteq A\cup B}\) (prosta własność sumy zbiorów) oraz skorzystać z tego, że równość zbiorów jest tożsama z dwoma zawieraniami.

JK

ODPOWIEDZ