Szereg implikacji jednej zmiennej a tautologia

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Szereg implikacji jednej zmiennej a tautologia

Post autor: Kalkulatorek » 19 paź 2017, o 00:46

Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) zdanie \(\displaystyle{ p \rightarrow p \dots \rightarrow p}\) (\(\displaystyle{ n}\) implikacji) jest tautologią?

(1) Sprawdzam dla \(\displaystyle{ p = 1}\):
Implikacja dwóch prawdziwych zdań jest zawsze prawdziwa - zatem warunek spełniony

(2) Dla \(\displaystyle{ p = 0}\):
Dla \(\displaystyle{ n = 1}\): prawda
Dla \(\displaystyle{ n = 2}\): fałsz
Dla \(\displaystyle{ n = 3}\): prawda
Dla \(\displaystyle{ n = 4}\): fałsz

Sprawdzam przy użyciu indukcji:
Z przykładów wynika, że zdanie jest prawdziwe dla liczby \(\displaystyle{ 1}\) oraz fałszywe dla liczby \(\displaystyle{ 2}\). Zakładam, że prawdziwe jest dla liczb nieparzystych, a fałszywe dla parzystych.
Zakładam, że dla pewnej liczby nieparzystej \(\displaystyle{ 2k+1}\) zdanie jest prawdziwe. Wówczas jest ono fałszywe dla \(\displaystyle{ 2k+2}\)
Zatem zdanie jest prawdziwe dla liczb nieparzystych.

Czy rozwiązałem to zadanie w odpowiedni i dość "formalny" sposób?
Ostatnio zmieniony 19 paź 2017, o 00:49 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27286
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Szereg implikacji jednej zmiennej a tautologia

Post autor: Jan Kraszewski » 19 paź 2017, o 00:57

Kalkulatorek pisze:Dla jakich liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) zdanie \(\displaystyle{ p \rightarrow p \dots \rightarrow p}\) (\(\displaystyle{ n}\) implikacji) jest tautologią?
Dla mnie to zadanie jest źle sformułowane. Przy standardowych priorytetach spójników logicznych to zdanie jest niejednoznaczne. Nie wiadomo, czy chodzi o

\(\displaystyle{ p \rightarrow\left( p \rightarrow \left( p \rightarrow \dots \rightarrow p\right) \right)}\)

czy o

\(\displaystyle{ \left( \left( p \rightarrow \dots \rightarrow p\right) \rightarrow p\right) \rightarrow p}\).

JK

Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Re: Szereg implikacji jednej zmiennej a tautologia

Post autor: Kalkulatorek » 19 paź 2017, o 07:42

W domyśle chodzi o drugą możliwość.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27286
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: Szereg implikacji jednej zmiennej a tautologia

Post autor: Jan Kraszewski » 19 paź 2017, o 09:22

Odpowiedź jest poprawna, natomiast jeśli chodzi o poziom formalizmu, to wszystko zależy od tego, jakie są oczekiwania. W pełni formalny dowód składa się z rekurencyjnej konstrukcji tego typu formuł, a potem z indukcyjnego dowodu ww. faktu, bazującego na wcześniej wspomnianej konstrukcji.

JK

ODPOWIEDZ