całka nieoznaczona

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
elcia_ch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 6 wrz 2007, o 15:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: inąd
Podziękował: 9 razy

całka nieoznaczona

Post autor: elcia_ch » 22 wrz 2007, o 20:22

proszę o pomoc przy tej całeczce:
\(\displaystyle{ \int\frac{1+\cos x}{1+ 9\sin^{2} x} dx =}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

jasny
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 845
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Limanowa
Pomógł: 191 razy

całka nieoznaczona

Post autor: jasny » 22 wrz 2007, o 20:38


elcia_ch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 6 wrz 2007, o 15:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: inąd
Podziękował: 9 razy

całka nieoznaczona

Post autor: elcia_ch » 22 wrz 2007, o 20:43

a czy można tę całkęrozwiązać przez podstawienie t= sinx
dt= cosxdx

\(\displaystyle{ \int\frac{dt}{1+9t^2}}\)

jasny
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 845
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Limanowa
Pomógł: 191 razy

całka nieoznaczona

Post autor: jasny » 22 wrz 2007, o 20:49

A co wtedy z jedynką w liczniku? Ta całka to tak samo jak \(\displaystyle{ \int\frac{(1+\cos{x})dx}{1+9\sin^2x}}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

całka nieoznaczona

Post autor: max » 22 wrz 2007, o 20:52

Możemy natomiast rozbić tę całkę na sumę całek:
\(\displaystyle{ \int \frac{(1 + \cos x)dx}{1 + 9\sin^{2} x} = t \frac{dx}{1 + 9\sin^{2}x} + t \frac{\cos x \, dx}{1 + 9\sin^{2}x}}\)
i w pierwszej podstawić \(\displaystyle{ t = \tan x}\) a w drugiej \(\displaystyle{ t = \sin x}\)

elcia_ch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 6 wrz 2007, o 15:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: inąd
Podziękował: 9 razy

całka nieoznaczona

Post autor: elcia_ch » 22 wrz 2007, o 20:52

dzięki czy mógłbyś jeszcze tę pierwszą dokładnie rozwiązać ?

jasny
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 845
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Limanowa
Pomógł: 191 razy

całka nieoznaczona

Post autor: jasny » 22 wrz 2007, o 22:33

\(\displaystyle{ \sin{x}=t}\)
\(\displaystyle{ \cos{x}dx=dt}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1-\sin^2x}dx=dt}\)
\(\displaystyle{ dx=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}}\)

\(\displaystyle{ I=\int\frac{dx}{1+9\sin^2x}=\int\frac{dt}{(1+9t^2)\sqrt{1-t^2}}=\int\frac{tdt}{(1+9t^2)t\sqrt{1-t^2}}}\)

\(\displaystyle{ u=\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}}\)
\(\displaystyle{ u^2=\frac{1-t^2}{t^2}}\)
\(\displaystyle{ t^2u^2=1-t^2\;\Rightarrow\;tu=\sqrt{1-t^2}}\)
\(\displaystyle{ t^2=\frac{1}{u^2+1}}\)
\(\displaystyle{ tdt=-\frac{udu}{(u^2+1)^2}}\)

\(\displaystyle{ 1+9t^2=1+\frac{9}{u^2+1}=\frac{u^2+10}{u^2+1}}\)
\(\displaystyle{ t\sqrt{1-t^2}=t\cdot{tu}=t^2u=\frac{u}{u^2+1}}\)

\(\displaystyle{ I=\int\frac{-udu}{(u^2+1)^2\cdot\frac{u^2+10}{u^2+1}\cdot\frac{u}{u^2+1}}=-\int\frac{du}{u^2+10}}\)

\(\displaystyle{ u=\sqrt{10}v,\;du=\sqrt{10}dv}\)

\(\displaystyle{ I=-\int\frac{\sqrt{10}dv}{10v^2+10}=-\frac{\sqrt{10}}{10}\int\frac{dv}{v^2+1}=-\frac{\sqrt{10}}{10}arc\tan{v}}\)
\(\displaystyle{ I=-\frac{\sqrt{10}}{10}arc\tan\frac{u\sqrt{10}}{10}}\)
\(\displaystyle{ I=-\frac{\sqrt{10}}{10}arc\tan\frac{\sqrt{10(1-t^2)}}{10t}}\)
\(\displaystyle{ I=-\frac{\sqrt{10}}{10}arc\tan\frac{\sqrt{10(1-\sin^2x)}}{10\sin{x}}= -\frac{\sqrt{10}}{10}arc\tan\frac{\sqrt{10}}{10\tan{x}}+C}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

całka nieoznaczona

Post autor: max » 22 wrz 2007, o 22:54

Ja bym proponował raczej coś takiego:
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{1 + 9\sin^{2}x} = t\frac{dx}{\cos^{2}x + 10\sin^{2}x} =\\
= t \frac{\frac{dx}{\cos^{2}x}}{1 + 10\tan^{2}x} \stackrel{t = \tan x}{=} t \frac{dt}{1 + 10t^{2}} =\\
= \frac{\sqrt{10}}{10}\arctan \sqrt{10}t + C = \frac{\sqrt{10}}{10}\arctan \sqrt{10}\tan x + C}\)


(:

jasny
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 845
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Limanowa
Pomógł: 191 razy

całka nieoznaczona

Post autor: jasny » 22 wrz 2007, o 22:57

Eee, na jenno wychodzi ;p

Mice
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 20:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Krakow
Podziękował: 3 razy

całka nieoznaczona

Post autor: Mice » 26 wrz 2007, o 16:24

jasny pisze:\(\displaystyle{ \sin{x}=t}\)
\(\displaystyle{ \cos{x}dx=dt}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{1-\sin^2x}dx=dt}\)
\(\displaystyle{ dx=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}}\)

\(\displaystyle{ I=\int\frac{dx}{1+9\sin^2x}=\int\frac{dt}{(1+9t^2)\sqrt{1-t^2}}=\int\frac{tdt}{(1+9t^2)t\sqrt{1-t^2}}}\)

\(\displaystyle{ u=\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}}\)
\(\displaystyle{ u^2=\frac{1-t^2}{t^2}}\)
\(\displaystyle{ t^2u^2=1-t^2\;\Rightarrow\;tu=\sqrt{1-t^2}}\)
\(\displaystyle{ t^2=\frac{1}{u^2+1}}\)
\(\displaystyle{ tdt=-\frac{udu}{(u^2+1)^2}}\)

\(\displaystyle{ 1+9t^2=1+\frac{9}{u^2+1}=\frac{u^2+10}{u^2+1}}\)
\(\displaystyle{ t\sqrt{1-t^2}=t\cdot{tu}=t^2u=\frac{u}{u^2+1}}\)

\(\displaystyle{ I=\int\frac{-udu}{(u^2+1)^2\cdot\frac{u^2+10}{u^2+1}\cdot\frac{u}{u^2+1}}=-\int\frac{du}{u^2+10}}\)

\(\displaystyle{ u=\sqrt{10}v,\;du=\sqrt{10}dv}\)

\(\displaystyle{ I=-\int\frac{\sqrt{10}dv}{10v^2+10}=-\frac{\sqrt{10}}{10}\int\frac{dv}{v^2+1}=-\frac{\sqrt{10}}{10}arc\tan{v}}\)
\(\displaystyle{ I=-\frac{\sqrt{10}}{10}arc\tan\frac{u\sqrt{10}}{10}}\)
\(\displaystyle{ I=-\frac{\sqrt{10}}{10}arc\tan\frac{\sqrt{10(1-t^2)}}{10t}}\)
\(\displaystyle{ I=-\frac{\sqrt{10}}{10}arc\tan\frac{\sqrt{10(1-\sin^2x)}}{10\sin{x}}= -\frac{\sqrt{10}}{10}arc\tan\frac{\sqrt{10}}{10\tan{x}}+C}\)

Na czym polega to podstawinie i kiedy sie je stosuje?
\(\displaystyle{ u=\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}}\)

jasny
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 845
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Limanowa
Pomógł: 191 razy

całka nieoznaczona

Post autor: jasny » 27 wrz 2007, o 10:01

Jeśli całka jest postaci \(\displaystyle{ \int\frac{dx}{(ax^2+b)\sqrt{cx^2+d}}}\), można zastosować podstawienie \(\displaystyle{ u=\frac{\sqrt{cx^2+d}}{x}}\), co ją sprowadza do całki funkcji wymiernej.

ODPOWIEDZ