Granica ciągu, gdzie robię błąd?

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Maciek414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 4 lip 2017, o 13:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Granica ciągu, gdzie robię błąd?

Post autor: Maciek414 » 18 paź 2017, o 17:15

Gdzie robię błąd?

Szukamy granicy ciągu o wyrazie ogólnym:
\(\displaystyle{ u_n= \left( \frac{n^2+2}{2n^2+1} \right) ^{n^2} \\ u_n= \left( 1+ \frac{-n^2+1}{2n^2+1} \right) ^{n^2} \\ u_n= \left( \left( 1+ \frac{1}{\frac{2n^2+1}{-n^2+1}} \right) ^{\frac{2n^2+1}{-n^2+1}} \right) ^{\frac{-n^2+1}{2n^2+1}\cdot n^2} \\ \lim_{ n\to \infty } = \left( e \right) ^{\frac{-n^2+1}{2n^2+1} \cdot n^2} = \left[ e^{- \infty } \right] =0}\)

Odpowiedź według książki to \(\displaystyle{ e ^{ \frac{3}{2} }}\)
Z góry dziękuję. ^^
Ostatnio zmieniony 19 paź 2017, o 01:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Granica ciągu, gdzie robię błąd?

Post autor: Premislav » 18 paź 2017, o 17:26

Odpowiedź z książki z pewnością jest niepoprawna (jeśli przykład dobrze przepisałeś), granica rzeczywiście wynosi \(\displaystyle{ 0}\), natomiast Twoje podejście jest całkowicie błędne i wychodzi dobrze tylko przypadkiem.
Ponieważ nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{ \frac{2n^2+1}{-n^2+1} } =0}\), więc nie można tutaj korzystać z liczby \(\displaystyle{ e}\) jako granicy odpowiedniego ciągu (czy ogólniej funkcji), a ponadto przechodzisz w jednym miejscu do granicy, a w drugim zostawiasz \(\displaystyle{ n}\), to też błąd, choć tu akurat mniej ważny.
Zauważ, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+2}{2n^2+1}=\frac 1 2}\) i zaraz będzie po zadaniu.

Maciek414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 4 lip 2017, o 13:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Granica ciągu, gdzie robię błąd?

Post autor: Maciek414 » 18 paź 2017, o 17:59

Racja, jak się uczyłem, umknęło mi, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } (1+a_n)^\frac{1}{a_n}=e}\) tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }a_n=0}\)
To w sumie dziwne, bo w m.in. tym zadaniu kazali [sugerowali by] opierać się na liczbie e >.<
Przykład jest dobrze przepisany, sprawdzałem kilka razy

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Granica ciągu, gdzie robię błąd?

Post autor: Premislav » 18 paź 2017, o 18:20

To źle sugerowali, ponieważ tego przykładu nie można zrobić w oparciu o liczbę \(\displaystyle{ e}\) (można gdzieś ją na siłę wepchnąć, ale to w żaden sposób nie ułatwi rozwiązania).

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3143
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1069 razy

Granica ciągu, gdzie robię błąd?

Post autor: Janusz Tracz » 18 paź 2017, o 19:13

Można też tak:

\(\displaystyle{ 0\le \frac{n^2+2}{2n^2+1}= \frac{1}{2} \cdot \left( 1+ \frac{3}{2n^2+1} \right) \le } \frac{1}{2}}\)

Wobec czego:

\(\displaystyle{ 0 \le \left( \frac{n^2+2}{2n^2+1}\right)^{n^2} \le \frac{1}{2^{n^2}} \rightarrow 0}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Granica ciągu, gdzie robię błąd?

Post autor: Premislav » 18 paź 2017, o 19:18

Janusz Tracz, jakimże to sposobem
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \left( 1+ \frac{3}{2n^2+1} \right) \le } \frac{1}{2}}\)?
Trzeba to trochę poprawić. Moja sugestia była taka, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+2}{2n^2+1}=\frac 1 2}\), więc dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy
np. \(\displaystyle{ 0< \frac{n^2+2}{2n^2+1}<\frac 2 3}\) (w miejsce \(\displaystyle{ \frac 2 3}\) można wstawić dowolną liczbę z przedziału \(\displaystyle{ \left( \frac 1 2, 1\right)}\)).

ODPOWIEDZ