Granica ciągu z definicji Cauchy'ego

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Androo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 23 sty 2017, o 16:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Droga Mleczna
Podziękował: 10 razy

Granica ciągu z definicji Cauchy'ego

Post autor: Androo » 18 paź 2017, o 15:25

Wytłumaczy ktoś jak z definicji Cauchy'ego można udowodnić, że granic to 3? Bo to widać od razu ale nie rozumiem przeprowadzonego dowodu. Pozdrawiam



\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{3n+1} {n+1}}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Granica ciągu z definicji Cauchy'ego

Post autor: Premislav » 18 paź 2017, o 15:41

\(\displaystyle{ \left| \frac{3n+1}{n+1}-3\right|=\left| \frac{3n+1-(3n+3)}{n+1} \right|= \frac{2}{n+1}}\)
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ \epsilon>0}\). Wówczas z pewnika Archimedesa (czy coś w tym stylu) istnieje takie \(\displaystyle{ n_{\epsilon} \in \NN}\), że dla wszystkich naturalnych \(\displaystyle{ n}\) nie mniejszych od \(\displaystyle{ n_{\epsilon}}\) zachodzi \(\displaystyle{ n>\frac2\epsilon}\)
Wtedy dla wszystkich \(\displaystyle{ n\in \NN}\) spełniających warunek \(\displaystyle{ n\ge n_{\epsilon}}\) mamy
\(\displaystyle{ \left| \frac{3n+1}{n+1}-3\right|=\frac{2}{n+1}<\frac 2 n <\epsilon}\)
co kończy dowód (patrz def. granicy ciągu).

Androo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 23 sty 2017, o 16:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Droga Mleczna
Podziękował: 10 razy

Re: Granica ciągu z definicji Cauchy'ego

Post autor: Androo » 18 paź 2017, o 15:57

Premislav,

Czyli mam tylko spełnić warunek \(\displaystyle{ n \ge n_{e}}\)

Czyli wystarczy zapisać ten warunek,dojść do takiej postaci i ją zostawić? \(\displaystyle{ <n}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Granica ciągu z definicji Cauchy'ego

Post autor: Premislav » 18 paź 2017, o 16:54

Niestety nie rozumiem, o co pytasz. Napisałem Ci cały dowód, Ty nie masz spełniać takiego warunku, bo jesteś człowiekiem, a nie liczbą. Tutaj masz definicję granicy ciągu:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Granica_ci%C4%85gu
Chcemy pokazać z definicji, że granicą ciągu \(\displaystyle{ a_n=\frac{3n+1} {n+1}}\) jest \(\displaystyle{ 3}\), zatem pokazujemy, że dla każdego dodatniego \(\displaystyle{ \epsilon}\) prawie wszystkie (tj. wszystkie poza skończoną liczbą) wyrazy ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\) znajdą się w takim pasku \(\displaystyle{ \left\{ x \in \RR:|x-3|<\epsilon\right\}}\). W tym celu ustalamy dowolne \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) i przekształcając nierówność \(\displaystyle{ |a_n-3|<\epsilon}\), pokazujemy, jaki warunek mają spełniać \(\displaystyle{ n \in \NN}\), by ta nierówność zaszła.
Gdybyś np. próbował udowodnić nieprawdę, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{3n+1}{n+1} =2}\), to by Ci się to nie udało, bo
\(\displaystyle{ \left| \frac{3n+1}{n+1}-2 \right| = \frac{3n+1}{n+1}-2 = \frac{2n+2+n-1}{n+1} -2=\frac{n-1}{n+1} \ge \frac 1 3}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\), więc nieprawdą jest, że dla wszystkich n poza skończoną liczbą mamy np. \(\displaystyle{ \left| \frac{3n+1}{n+1}-2 \right| <\frac 1 4}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19209
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Granica ciągu z definicji Cauchy'ego

Post autor: a4karo » 18 paź 2017, o 18:00

Jeśli chcesz udowodnić że \(\displaystyle{ g}\) NIE JEST granicą ciągu, to po prostu zaneguj warunek. Prawa de Morgana się przydadzą. (a przykład podał przedpośćca - tak chyba trzeba określić forumowego przedmówcę )

Androo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 23 sty 2017, o 16:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Droga Mleczna
Podziękował: 10 razy

Re: Granica ciągu z definicji Cauchy'ego

Post autor: Androo » 18 paź 2017, o 18:23

Premislav, A powiedz mi jeszcze tylko jedną rzecz bo na wykładach zapisywaliśmy to w ten sposób czy to jest ogólnie okey?

\(\displaystyle{ U(e)<n, \frac{2-e}{e}<n \Leftarrow N(e)<n}\)-- 18 paź 2017, o 18:24 --a4karo, Powiem Ci, że nienawidzę terminologii i definicji matematycznych

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Granica ciągu z definicji Cauchy'ego

Post autor: Premislav » 18 paź 2017, o 18:33

Niestety, ale oznaczenia, które zastosowałeś nie są uniwersalne, więc skoro nie wyjaśniasz znaczenia tych symboli, tylko wrzucasz ścianę znaków, to ja nic nie poradzę. Zgadywać nie będę.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19209
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Granica ciągu z definicji Cauchy'ego

Post autor: a4karo » 18 paź 2017, o 19:08

Androo pisze:
a4karo, Powiem Ci, że nienawidzę terminologii i definicji matematycznych
To idź na ....
No wlasnie, chciałem coś doradzić i uświadomiłem sobie, że nie znam dziedziny, w której nie spotkasz sie z matematyką. Nawet przy prowadzeniu warzywniaka jest niezbędna.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Granica ciągu z definicji Cauchy'ego

Post autor: Premislav » 18 paź 2017, o 19:26

Podpowiem: okazuje się w praktyce (co może być szokiem), że wyborem może być w tej sytuacji filozofia (na której przecież niby wykłada się całkiem sporo logiki), bo pani Magdalena Środa lubi argumentować za pomocą znanej tautologii \(\displaystyle{ p \wedge \neg p}\) (nic mi o tym nie wiadomo, by robiła tak w pracach naukowych, ale na pewno robi tak w dyskusjach światopoglądowych i politycznych). Nie przeszkodziło jej to osiągnąć, powiedzmy, sukcesu w swojej dziedzinie (przynajmniej jeśli jako sukces rozumiemy habilitację, stanowisko na uczelni itd.).
W warzywniaku można się zmagać z problemem wydawania reszty, a bez gotowego algorytmu na podorędziu to może być kłopotliwe.

Androo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 23 sty 2017, o 16:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Droga Mleczna
Podziękował: 10 razy

Re: Granica ciągu z definicji Cauchy'ego

Post autor: Androo » 18 paź 2017, o 20:16

a4karo pisze:
Androo pisze:
a4karo, Powiem Ci, że nienawidzę terminologii i definicji matematycznych
To idź na ....
No wlasnie, chciałem coś doradzić i uświadomiłem sobie, że nie znam dziedziny, w której nie spotkasz sie z matematyką. Nawet przy prowadzeniu warzywniaka jest niezbędna.

Panowie matematyka nie jest mi obca przez fizykę po przedmioty techniczne,inżynierskie, po prostu nie cierpię formalizmu matematycznego i definicji bez których i tak można rozwiązać zadanie. Bo granica jest oczywista ale z definicją już nie jest to takie jasne. I kogo nie spytam to doskonale zna matematykę ale przy definicjach wysiada, dziwna sprawa

ODPOWIEDZ