równanie różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
wojtek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 17 paź 2017, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

równanie różniczkowe

Post autor: wojtek20 » 17 paź 2017, o 22:49

\(\displaystyle{ (6-x^2y^2)dx+x^2dy=0}\)
Nie wiem jak to ugryźć. Z góry dziękuję za pomoc.

NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1477
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: równanie różniczkowe

Post autor: NogaWeza » 17 paź 2017, o 23:02

Spróbuj poszukać czynnika całkującego. Najprościej zacząć od szukania czynnika zależącego tylko od jednej zmiennej (\(\displaystyle{ x}\) bądź \(\displaystyle{ y}\)). Jest chyba o tym artykuł na wiki, na pewno znajdziesz też jakieś uczelniane skrypty.

wojtek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 17 paź 2017, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

równanie różniczkowe

Post autor: wojtek20 » 17 paź 2017, o 23:24

Szukałem według przepisów z podręcznika Krysicki & Włodarski, niestety bez sukcesów. Oczywiście nie twierdzę, że nie istnieje, tylko że ja nie potrafię go znaleźć. Podstawienia typu \(\displaystyle{ u=y/x}\) lub odwrotnie też nigdzie mnie nie zaprowadziły.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: równanie różniczkowe

Post autor: Janusz Tracz » 17 paź 2017, o 23:56

Też zaczął bym od szukania czynnika całkującego jeśli okazało by się to trudne to zauważ że to jest równanie Riccatiego. By wyznaczyć ogólne rozwiązanie tego typu równania potrzebować będziesz rozwiązania szczególnego, znajdziesz je dobierając odpowiednio parametr \(\displaystyle{ a}\) i zakładając że rozwiązanie szczególne ma postać \(\displaystyle{ y= \frac{a}{x}}\).

wojtek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 17 paź 2017, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: równanie różniczkowe

Post autor: wojtek20 » 23 paź 2017, o 21:24

a może poradzicie co zrobić z takim przykładem
\(\displaystyle{ (y/x+3x^2)dx+(1+x^3/y)dy=0}\)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: równanie różniczkowe

Post autor: mariuszm » 8 lis 2017, o 03:12

\(\displaystyle{ (6-x^2y^2)dx+x^2dy=0\\ x^2\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }+6-x^2y^2=0\\ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }+\frac{6}{x^2}-y^2=0\\ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }+\frac{y}{x}\left(\frac{6}{xy}-xy\right)=0\\ u=xy\\ y=\frac{u}{x}\\ y'=\frac{u'x-u}{x^2}\\ y'=\frac{u'}{x}-\frac{u}{x^2}\\ \frac{u'}{x}-\frac{u}{x^2}+\frac{u}{x^2}\left(\frac{6}{u}-u\right)=0\\}\)

i mamy rozdzielone zmienne

Z tym równaniem można podobnie

\(\displaystyle{ (\frac{y}{x}+3x^2)dx+(1+\frac{x^3}{y})dy=0\\ (1+\frac{x^3}{y})dy=-(\frac{y}{x}+3x^2)dx\\ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-\frac{\frac{y}{x}+3x^2}{1+\frac{x^3}{y}}\\ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=-\frac{y}{x}\frac{1+3\frac{x^3}{y}}{1+\frac{x^3}{y}}\\ u=\frac{x^3}{y}\\}\)-- 9 listopada 2017, 22:06 --Jeżeli nadal chcemy szukać czynników całkujących to dla pierwszego równania są one postaci

\(\displaystyle{ \mu_{1}\left( x,y\right)=\frac{1}{x\left( 6-x^2y^2-xy\right) }\\ \mu_{1}\left( x,y\right)=\frac{x^4}{\left( xy-2\right)^2 }}\)

Co do drugiego równania to znalazłem tylko jeden czynnik całkujący postaci

\(\displaystyle{ \mu\left( x,y\right)=\frac{1}{2y+3x^3}}\)

ODPOWIEDZ