Rozwiązanie równania

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
wiktor363
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 3 paź 2017, o 13:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 15 razy

Rozwiązanie równania

Post autor: wiktor363 » 17 paź 2017, o 19:59

Znaleźć wszystkie zespolone rozwiązania równania dla parametru \(\displaystyle{ a \neq 0}}\) należącego do zbioru liczb zespolonych \(\displaystyle{ i \overline{z} +\left| z\right| ^{2} -iz + az=0}\).

Nie wiem jak zrobić to zadanie próbowałem rozbijać \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ a}\) na składowe, ale i tak nie widzę rozwiązania.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3149
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1072 razy

Re: Rozwiązanie równania

Post autor: Janusz Tracz » 17 paź 2017, o 20:15

Niech \(\displaystyle{ z=x+iy}\) oraz \(\displaystyle{ a\in\CC \setminus \left\{ 0\right\}}\) wtedy:

\(\displaystyle{ i \overline{z} +\left| z\right| ^{2} -iz + az=0}\)

\(\displaystyle{ i\left( x-iy\right)+x^2+y^2-i\left( x+iy\right)+a\left( x+iy\right)=0}\)

\(\displaystyle{ x^2+y^2+ax+2y+iay=0}\)
herezja:    
Ostatnio zmieniony 17 paź 2017, o 20:55 przez Janusz Tracz, łącznie zmieniany 1 raz.

wiktor363
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 3 paź 2017, o 13:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 15 razy

Re: Rozwiązanie równania

Post autor: wiktor363 » 17 paź 2017, o 20:45

NIe jestem pewien czy ta część jest poprawna...

\(\displaystyle{ x^2+y^2+ax+2y+iay=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2+y^2+ax+2y=0\\ ay=0 \Rightarrow y=0 \end{cases}}\)

Przecież \(\displaystyle{ a}\) należy do liczb zespolonych, więc trzeba raczej zapisać \(\displaystyle{ Im(ax)+Im(iay)=0}\) Mógłby ktoś to skomentować?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3149
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1072 razy

Re: Rozwiązanie równania

Post autor: Janusz Tracz » 17 paź 2017, o 20:46

Masz rację. Zapomniałem o założeniu, przepraszam.-- 17 paź 2017, o 20:54 --Jeśli zapiszemy \(\displaystyle{ a=\Re a+i\Im a}\) to można to przepisać w takiej postaci.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y^2+2y-y \cdot \Im a+x \cdot \Re a=0 \\ y \cdot \Re a+x \cdot \Im a=0 \end{cases}}\)

Wydzielając z 2 równania \(\displaystyle{ y}\) lub \(\displaystyle{ x}\) i podstawiając do 1 dostaniesz równie kwadratowe.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7895
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 243 razy
Pomógł: 3093 razy

Re: Rozwiązanie równania

Post autor: kerajs » 17 paź 2017, o 21:02

\(\displaystyle{ i \overline{z} +\left| z\right| ^{2} -iz + az=0\\ az=-\left| z\right| ^{2}-2Im(z)}\)
Aby iloczyn tych zespolonych był rzeczywisty to musi zachodzić:
\(\displaystyle{ a=k \overline{z} \wedge k \in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\)
1)
\(\displaystyle{ k=-1\\ ....}\)

2)
\(\displaystyle{ k \neq -1\\ k(x^2+y^2)+x^2+y^2+2y=0\\ (k+1)x^2+(k+1)\left[ (y+ \frac{1}{k+1} )^2- \frac{1}{(k+1)^2} \right]=0\\ x^2+(y+ \frac{1}{k+1})^2= \frac{1}{(k+1)^2}}\)

wiktor363
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 3 paź 2017, o 13:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 15 razy

Rozwiązanie równania

Post autor: wiktor363 » 17 paź 2017, o 21:54

Czyli dobrze rozumiem, że rozwiązaniem równania będą takie z, że \(\displaystyle{ (\overline{z} = -a \wedge Im(z)=0) \vee z=0}\)
Świetne rozwiązanie! Nie wiedziałem, że aby iloczyn tych zespolonych był rzeczywisty to musi zachodzić:\(\displaystyle{ a=k \overline{z} \wedge k \in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\).

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7895
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 243 razy
Pomógł: 3093 razy

Re: Rozwiązanie równania

Post autor: kerajs » 17 paź 2017, o 23:35

1)
Dla \(\displaystyle{ a \neq k\overline{z}}\) jest dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ z=0}\)
2)
Dla \(\displaystyle{ a =-\overline{z}}\) rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista
3)
Dla \(\displaystyle{ a =k\overline{z} \wedge k \in \RR \setminus \left\{ -1,0\right\}}\) jest nieskończenie wiele rozwiązań zespolonych leżących na okręgu wskazanym w poprzednim poscie.


PS
Nie wiedziałem, że aby iloczyn tych zespolonych był rzeczywisty to musi zachodzić...
Niech iloczyn \(\displaystyle{ pq}\) dwóch liczb zespolonych daje rzeczywisty wynik. Zastanów się jaka musi być zależność między ich argumentami (kątami).

ODPOWIEDZ