Liczenie granicy funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
r3vis3d
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 4 paź 2017, o 15:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 3 razy

Liczenie granicy funkcji

Post autor: r3vis3d » 17 paź 2017, o 19:14

Cześć,
Jak mogę policzyć granicę tego czegoś?
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{ex ^{2}-1 }{\tg 2x ^{2} }}\)
Ostatnio zmieniony 17 paź 2017, o 19:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3151
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1072 razy

Liczenie granicy funkcji

Post autor: Janusz Tracz » 17 paź 2017, o 19:15

Tam na pewno jest \(\displaystyle{ ex^2-1}\) czy może miało być \(\displaystyle{ e^{x^2}-1}\) ?

r3vis3d
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 4 paź 2017, o 15:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 3 razy

Liczenie granicy funkcji

Post autor: r3vis3d » 17 paź 2017, o 19:18

Tak jak niestety napisałem, \(\displaystyle{ ex ^{2}}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15212
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5047 razy

Liczenie granicy funkcji

Post autor: Premislav » 17 paź 2017, o 19:21

Jeżeli tam by było \(\displaystyle{ ex^2}\), to nie ma czego liczyć, licznik dąży do \(\displaystyle{ -1}\), zaś mianownik do \(\displaystyle{ 0}\) (po wartościach dodatnich, bo w \(\displaystyle{ left( 0, frac pi 2 ight)}\) tangens jest dodatni), więc wynik to po prostu \(\displaystyle{ -infty}\).

Napiszę dla \(\displaystyle{ e^{x^2}}\), tak ma chyba najwięcej sensu.
\(\displaystyle{ lim_{x o 0} frac{e^{x^2}-1}{x^2}=1\ lim_{x o 0} frac{2x^2}{ g(2x^2)}=1\ frac{e^{x^2}-1}{ g(2x^2)}= frac 1 2cdot frac{e^{x^2}-1}{x^2} cdot frac{2x^2}{ g(2x^2)}ldots}\)
Ogólnie polecam zapoznać się z tzw. granicami specjalnymi:
90940.htm#p337909

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3151
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1072 razy

Liczenie granicy funkcji

Post autor: Janusz Tracz » 17 paź 2017, o 19:23

W takim razie wystarczy podstawić.

\(\displaystyle{ \frac{ex^2-1}{\tg 2x^2} \rightarrow \frac{-1}{0^{+}}=- \infty}\)
jeśli jednak...:    
-- 17 paź 2017, o 19:42 --

Dobra... Premislav, wyprzedził mnie jak zawsze To dopisze regułą DH gdyby się nie znało granic specjalnych.
jeśli jednak 2:    
EDIT: Poprawa latex-a.
Ostatnio zmieniony 18 paź 2017, o 08:10 przez Janusz Tracz, łącznie zmieniany 1 raz.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19226
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Liczenie granicy funkcji

Post autor: a4karo » 18 paź 2017, o 06:36

Janusz Tracz pisze: Dobra... Premislav, wyprzedził mnie jak zawsze To dopisze regułą DH gdyby się nie znało granic specjalnych.
jeśli jednak 2:    
A można ją tutaj stosować (założenia!!!)?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3151
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1072 razy

Re: Liczenie granicy funkcji

Post autor: Janusz Tracz » 18 paź 2017, o 08:09

Założenia są spełnione zrobiłem głupi błąd w przepisywaniu po pochodnej z drugiej granicy widać że chodziło o taką granicę

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0} \frac{e^{x ^{2}}-1 }{\tg 2x ^{2} }=\lim_{ x\to 0} \frac{2xe^{x^2} }{4x \frac{1}{ \cdot \cos 2x^2} }= \frac{1}{2}}\)

ODPOWIEDZ