Suma uogólniona i indeksowanie

[GorveenN]

Czym różni się: \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} \bigcup A _{t}}\) od \(\displaystyle{ \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}}\) ? Czy brak indeksu pod znakiem sumy oznacza sumowanie po wszystkich indeksach? tzn z sumy bez indeksu otrzymamy cały zbiór którego typu jest \(\displaystyle{ A_{t}}\)?

[szw1710]

Pierwsza notacja jest skrótowa i stosujemy ją, gdy z kontekstu jasno wynika, jaki jest zbiór indeksów \(\displaystyle{ T}\). Zobaczmy na coś takiego (co prawda zwyczajne sumowanie, ale sens Twojego pytania jest zachowany). Wartość oczekiwaną zmiennej losowej skokowej z funkcją prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ (x_i,p_i)}\) liczymy wg wzoru \(\displaystyle{ EX=\displaystyle\sum_i x_ip_i.}\) Zapis mocno skrócony. Ale jeśli mówisz o zmiennej przyjmującej skończenie wiele wartości, masz sumę po skończenie wielu \(\displaystyle{ i}\), jeśli zmienna przyjmuje przeliczalnie (ale nieskończenie) wiele wartości, mamy sumę szeregu liczbowego. Ale z rozważanego kontekstu (np. właśnie rozwiązywane zadanie), jasno wynika, o co chodzi i spokojnie można sobie na ten skrót myślowy pozwolić.

Drugi zapis nie pozostawia żadnych wątpliwości. Można też tak: \(\displaystyle{ \bigcup \{A_t\colon t\in T\}.}\)

[GorveenN]

Jeżeli z kontekstu wynika, że w pierwszym zapisie mamy taki sam zbiór t to czy te zbiory są równe?
Czy zapisy:
1. \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ A_{t} : t \in T \right\} = \bigcup \bigcup\left\{ A_{t} : t \in T \right\} = \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}}\)
2.\(\displaystyle{ \bigcup\left\{ \bigcup A_{t} : t \in T \right\} = \bigcup_{t \in T} \bigcup A _{t}}\)
są poprawne?
Czy w takim wypadku mogę traktować \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ \bigcup A_{t} : t \in T \right\}}\) jako \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ A_{t} : t \in T \right\}}\) ? Jak rozumiem, sumuję w tym wypadku pojedyncze zbiory?

[Jan Kraszewski]

Pierwsza notacja jest skrótowa i stosujemy ją, gdy z kontekstu jasno wynika, jaki jest zbiór indeksów \(\displaystyle{ T}\).
(...)
Drugi zapis nie pozostawia żadnych wątpliwości. Można też tak: \(\displaystyle{ \bigcup \{A_t\colon t\in T\}.}\)

Przykro mi szw1710, ale z teoriomnogościowego punktu widzenia to, co napisałeś, jest zupełnie nieprawdziwe.

Czy zapisy:
1. \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ A_{t} : t \in T \right\} \red =\black \bigcup \bigcup\left\{ A_{t} : t \in T \right\} = \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}}\)
2.\(\displaystyle{ \bigcup\left\{ \bigcup A_{t} : t \in T \right\} = \bigcup_{t \in T} \bigcup A _{t}}\)
są poprawne?

Ad 1. Nie, czerwona równość nie jest prawdziwa.
Zapis \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ A_{t} : t \in T \right\}}\) oznacza sumę uogólnioną rodziny \(\displaystyle{ \left\{ A_{t} : t \in T \right\}}\), innymi słowy \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ A_{t} : t \in T \right\}= \bigcup_{t\in T}A_t}\). Natomiast zapis \(\displaystyle{ \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}}\) oznacza, że zbiór \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) jest rodziną zbiorów (czyli każdy zbiór \(\displaystyle{ A_t}\) jest de facto rodziną zbiorów) i chcemy wyznaczyć sumę uogólnioną tej nieindeksowanej rodziny zbiorów.

Ad 2. A tu już w ogóle nie bardzo wiadomo, czym miałby być zbiór \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ \bigcup A_{t} : t \in T \right\}}\).

JK

[krl]

Ad 2. A tu już w ogóle nie bardzo wiadomo, czym miałby być zbiór \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ \bigcup A_{t} : t \in T \right\}}\).

Akurat w 2. zapis jest formalnie poprawny i wiadomo, czym są zbiory po obu stronach równości (rozumiejąc oczywiście, że każde \(\displaystyle{ A_t}\) jest samo w sobie rodziną zbiorów).

[Jan Kraszewski]

Akurat w 2. zapis jest formalnie poprawny i wiadomo, czym są zbiory po obu stronach równości (rozumiejąc oczywiście, że każde \(\displaystyle{ A_t}\) jest samo w sobie rodziną zbiorów).

Oczywiście, chodziło mi raczej o to, że realne znaczenie jest bardzo odległe od tego, które zapewne przypisuje mu GorveenN. Tym niemniej mój skrót myślowy był jak najbardziej nieuprawniony - akurat w 2. ta równość zachodzi.

JK

[GorveenN]

Czy \(\displaystyle{ \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}}\) mogę potraktować jako sumowanie jednego(?) zbioru \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) ? (pisząc jednego mam na myśli, że \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) będzie pojedynczym zbiorem).
W drugim wypadku jako rodzinę zbiorów mam potraktować \(\displaystyle{ \bigcup A _{t}}\) co będzie także pojedynczym zbiorem? Jak wtedy mam rozumieć indeksy przy \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T}}\)? Czy podejście do takich zapisów, w sposób rozpatrywania ich od lewej jest poprawny?

[Jan Kraszewski]

Czy \(\displaystyle{ \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}}\) mogę potraktować jako sumowanie jednego(?) zbioru \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) ? (pisząc jednego mam na myśli, że \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) będzie pojedynczym zbiorem).

Tak, musisz jednak wiedzieć, co to znaczy. Ma to sens tylko wtedy, gdy ten jeden zbiór jest zbiorem (inaczej: rodziną) zbiorów (bo tylko wtedy definicja sumy uogólnionej ma sens). By zbiór \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) był rodziną zbiorów, to rodziną zbiorów musi być każdy zbiór \(\displaystyle{ A_t.}\)

Na wszelki wypadek przypomnę Ci definicję: jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) jest rodziną zbiorów, to \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal{A}=\left\{x:(\exists A\in \mathcal{A})x\in A \right\}}\).

W drugim wypadku jako rodzinę zbiorów mam potraktować \(\displaystyle{ \bigcup A _{t}}\) co będzie także pojedynczym zbiorem?

Nie. Jako rodzinę zbiorów masz potraktować \(\displaystyle{ A_t}\). Natomiast \(\displaystyle{ \bigcup A _{t}}\) jest pojedynczym zbiorem, którego elementy niekoniecznie muszą być zbiorami.

Jak wtedy mam rozumieć indeksy przy \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T}}\)?

Skoro \(\displaystyle{ A_t}\) jest rodziną zbiorów, to suma tej rodziny jest zbiorem, który mogę oznaczyć przez \(\displaystyle{ \mathcal{A}_t=\bigcup A _{t}}\) i potem mam już normalną sumę indeksowanej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \left\{ \mathcal{A}_t:t\in T\right\}}\).

Czy podejście do takich zapisów, w sposób rozpatrywania ich od lewej jest poprawny?

To znaczy?

JK

[szw1710]

Pierwsza notacja jest skrótowa i stosujemy ją, gdy z kontekstu jasno wynika, jaki jest zbiór indeksów \(\displaystyle{ T}\).
(...)
Drugi zapis nie pozostawia żadnych wątpliwości. Można też tak: \(\displaystyle{ \bigcup \{A_t\colon t\in T\}.}\)

Przykro mi szw1710, ale z teoriomnogościowego punktu widzenia to, co napisałeś, jest zupełnie nieprawdziwe.

Chodzi o sumę rodziny zbiorów, którą jest \(\displaystyle{ \{A_t\colon t\in T\}.}\) Kwestia interpretacji nawiasów klamrowych. Owszem, można by to zinterpretować jako zbiór, którego elementami są zbiory \(\displaystyle{ A_t}\). Wtedy rzeczywiście to co napisałem jest złe.

[GorveenN]

Czy \(\displaystyle{ \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}}\) mogę potraktować jako sumowanie jednego(?) zbioru \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) ? (pisząc jednego mam na myśli, że \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) będzie pojedynczym zbiorem).

Tak, musisz jednak wiedzieć, co to znaczy. Ma to sens tylko wtedy, gdy ten jeden zbiór jest zbiorem (inaczej: rodziną) zbiorów (bo tylko wtedy definicja sumy uogólnionej ma sens). By zbiór \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) był rodziną zbiorów, to rodziną zbiorów musi być każdy zbiór \(\displaystyle{ A_t.}\)

Czy w takim razie przy założeniu, że \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) jest pojedynczym zbiorem napisanie \(\displaystyle{ \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t} = \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) będzie poprawne?
Jeszcze aby upewnić się, że wszystko zrozumiałem, czy mógłbyś ocenić moje rozumowanie:
\(\displaystyle{ A _{1} = \left\{ \left\{ 1, 2\right\}, \left\{ 3, 4\right\}, \left\{ 5, 6\right\} \right\} \\
A _{2} = \left\{ \left\{ 7, 8\right\}, \left\{ 9, 10\right\} \right\} \\
\bigcup A _{1} = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\right\} \\
\bigcup_{t \in \left\{ 1, 2\right\}} A _{t} = \left\{ \left\{ 1, 2\right\}, \left\{ 3, 4\right\}, \left\{ 5, 6 \right\}, \left\{ 7, 8\right\}, \left\{ 9, 10\right\}\right\}}\)

[Jan Kraszewski]

Czy w takim razie przy założeniu, że \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) jest pojedynczym zbiorem napisanie \(\displaystyle{ \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t} = \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) będzie poprawne?

Nie. Co to znaczy, że \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) jest pojedynczym zbiorem? A jakim innym może być?

Jeszcze aby upewnić się, że wszystko zrozumiałem, czy mógłbyś ocenić moje rozumowanie:
\(\displaystyle{ A _{1} = \left\{ \left\{ 1, 2\right\}, \left\{ 3, 4\right\}, \left\{ 5, 6\right\} \right\} \\
A _{2} = \left\{ \left\{ 7, 8\right\}, \left\{ 9, 10\right\} \right\} \\
\bigcup A _{1} = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\right\} \\
\bigcup_{t \in \left\{ 1, 2\right\}} A _{t} = \left\{ \left\{ 1, 2\right\}, \left\{ 3, 4\right\}, \left\{ 5, 6 \right\}, \left\{ 7, 8\right\}, \left\{ 9, 10\right\}\right\}}\)

Dobrze.

JK

[GorveenN]

\(\displaystyle{ \bigcup \bigcup_{t \in \left\{ 1, 2\right\}} A _{t} = \left\{ \left\{ 1, 2\right\}, \left\{ 3, 4\right\}, \left\{ 5, 6 \right\}, \left\{ 7, 8\right\}, \left\{ 9, 10\right\}\right\} \\
\bigcup_{t \in \left\{ 1, 2\right\}} \bigcup A _{t} = \left\{ \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}, \left\{ 7,8, 9, 10\right\}\right\}}\)
Czy nadal jest dobrze? Jakie zawieranie będzie zachodziło między tymi dwoma zbiorami?

[Jan Kraszewski]

Źle.

\(\displaystyle{ \bigcup \bigcup_{t \in \left\{ 1, 2\right\}} A _{t} = \left\{ 1, 2, 3, 4,5, 6 , 7, 8, 9, 10\right\}= \bigcup_{t \in \left\{ 1, 2\right\}} \bigcup A _{t}}\)

JK

[GorveenN]

Wydaję mi się, że już rozumiem. Jak mogę pokazać tą równość w bardziej "formalny" sposób? Traktowanie \(\displaystyle{ \bigcup A _{t}}\) jako sumy elementów \(\displaystyle{ A _{t}}\), a \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in \left\{ 1, 2\right\}} A _{t}}\) jako sumy zbiorów \(\displaystyle{ A _{t}}\) jest poprawne?

[Jan Kraszewski]

Jak mogę pokazać tą równość w bardziej "formalny" sposób?

To dość proste. Pokażemy, że \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} \bigcup A _{t} =\bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}}\). Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x}\). Mamy

\(\displaystyle{ L:\ x\in \bigcup_{t \in T} \bigcup A _{t}\iff \left( \exists t\in T \right) x\in \bigcup A _{t}\iff\\ \iff \left( \exists t\in T \right) \left( \exists A\in A_t \right) x\in A\iff \left( \exists t\in T \right) \left( \exists A \right) \left( A\in A_t\land x\in A \right)}\)

Z drugiej strony mamy

\(\displaystyle{ P:\ x\in \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}\iff \left( \exists A\in \bigcup_{t \in T} A _{t} \right) x\in A\iff\\ \iff
\left( \exists A \right) \left( x\in \bigcup_{t \in T}A _{t} \land x\in A \right) \iff \left( \exists A \right) \left( \left( \exists t\in T \right) \left( x\in A _{t} \right) \land x\in A \right) \iff \\ \iff \left( \exists A \right) \left( \exists t\in T \right) \left( x\in A _{t}\land x\in A \right)}\)

Zatem na mocy prawa przemienności kwantyfikatorów egzystencjalnych mamy \(\displaystyle{ L\iff P}\).

Traktowanie \(\displaystyle{ \bigcup A _{t}}\) jako sumy elementów \(\displaystyle{ A _{t}}\), a \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in \left\{ 1, 2\right\}} A _{t}}\) jako sumy zbiorów \(\displaystyle{ A _{t}}\) jest poprawne?

Tak, jeśli pisząc "jako sumy elementów \(\displaystyle{ A _{t}}\)" masz na myśli "jako sumy elementów zbioru \(\displaystyle{ A _{t}}\)". Możesz pomyśleć też tak: jeśli \(\displaystyle{ A_t=\{A_t^i:i\in I\}}\), to \(\displaystyle{ \bigcup A _{t}=\bigcup_{i\in I} A_{t}^i}\).

JK