Suma uogólniona i indeksowanie

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
GorveenN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 24 sie 2017, o 16:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Suma uogólniona i indeksowanie

Post autor: GorveenN » 17 paź 2017, o 13:31

Czym różni się: \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} \bigcup A _{t}}\) od \(\displaystyle{ \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}}\) ? Czy brak indeksu pod znakiem sumy oznacza sumowanie po wszystkich indeksach? tzn z sumy bez indeksu otrzymamy cały zbiór którego typu jest \(\displaystyle{ A_{t}}\)?
Ostatnio zmieniony 17 paź 2017, o 14:03 przez GorveenN, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Suma uogólniona i indeksowanie

Post autor: szw1710 » 17 paź 2017, o 13:52

Pierwsza notacja jest skrótowa i stosujemy ją, gdy z kontekstu jasno wynika, jaki jest zbiór indeksów \(\displaystyle{ T}\). Zobaczmy na coś takiego (co prawda zwyczajne sumowanie, ale sens Twojego pytania jest zachowany). Wartość oczekiwaną zmiennej losowej skokowej z funkcją prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ (x_i,p_i)}\) liczymy wg wzoru \(\displaystyle{ EX=\displaystyle\sum_i x_ip_i.}\) Zapis mocno skrócony. Ale jeśli mówisz o zmiennej przyjmującej skończenie wiele wartości, masz sumę po skończenie wielu \(\displaystyle{ i}\), jeśli zmienna przyjmuje przeliczalnie (ale nieskończenie) wiele wartości, mamy sumę szeregu liczbowego. Ale z rozważanego kontekstu (np. właśnie rozwiązywane zadanie), jasno wynika, o co chodzi i spokojnie można sobie na ten skrót myślowy pozwolić.

Drugi zapis nie pozostawia żadnych wątpliwości. Można też tak: \(\displaystyle{ \bigcup \{A_t\colon t\in T\}.}\)

GorveenN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 24 sie 2017, o 16:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Re: Suma uogólniona i indeksowanie

Post autor: GorveenN » 17 paź 2017, o 14:05

Jeżeli z kontekstu wynika, że w pierwszym zapisie mamy taki sam zbiór t to czy te zbiory są równe?
Czy zapisy:
1. \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ A_{t} : t \in T \right\} = \bigcup \bigcup\left\{ A_{t} : t \in T \right\} = \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}}\)
2.\(\displaystyle{ \bigcup\left\{ \bigcup A_{t} : t \in T \right\} = \bigcup_{t \in T} \bigcup A _{t}}\)
są poprawne?
Czy w takim wypadku mogę traktować \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ \bigcup A_{t} : t \in T \right\}}\) jako \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ A_{t} : t \in T \right\}}\) ? Jak rozumiem, sumuję w tym wypadku pojedyncze zbiory?
Ostatnio zmieniony 17 paź 2017, o 15:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27286
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: Suma uogólniona i indeksowanie

Post autor: Jan Kraszewski » 17 paź 2017, o 15:42

szw1710 pisze:Pierwsza notacja jest skrótowa i stosujemy ją, gdy z kontekstu jasno wynika, jaki jest zbiór indeksów \(\displaystyle{ T}\).
(...)
Drugi zapis nie pozostawia żadnych wątpliwości. Można też tak: \(\displaystyle{ \bigcup \{A_t\colon t\in T\}.}\)
Przykro mi szw1710, ale z teoriomnogościowego punktu widzenia to, co napisałeś, jest zupełnie nieprawdziwe.
GorveenN pisze:Czy zapisy:
1. \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ A_{t} : t \in T \right\} \red =\black \bigcup \bigcup\left\{ A_{t} : t \in T \right\} = \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}}\)
2.\(\displaystyle{ \bigcup\left\{ \bigcup A_{t} : t \in T \right\} = \bigcup_{t \in T} \bigcup A _{t}}\)
są poprawne?
Ad 1. Nie, czerwona równość nie jest prawdziwa.
Zapis \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ A_{t} : t \in T \right\}}\) oznacza sumę uogólnioną rodziny \(\displaystyle{ \left\{ A_{t} : t \in T \right\}}\), innymi słowy \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ A_{t} : t \in T \right\}= \bigcup_{t\in T}A_t}\). Natomiast zapis \(\displaystyle{ \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}}\) oznacza, że zbiór \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) jest rodziną zbiorów (czyli każdy zbiór \(\displaystyle{ A_t}\) jest de facto rodziną zbiorów) i chcemy wyznaczyć sumę uogólnioną tej nieindeksowanej rodziny zbiorów.

Ad 2. A tu już w ogóle nie bardzo wiadomo, czym miałby być zbiór \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ \bigcup A_{t} : t \in T \right\}}\).

JK

krl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 526
Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 118 razy

Re: Suma uogólniona i indeksowanie

Post autor: krl » 17 paź 2017, o 15:50

Jan Kraszewski pisze: Ad 2. A tu już w ogóle nie bardzo wiadomo, czym miałby być zbiór \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ \bigcup A_{t} : t \in T \right\}}\).
Akurat w 2. zapis jest formalnie poprawny i wiadomo, czym są zbiory po obu stronach równości (rozumiejąc oczywiście, że każde \(\displaystyle{ A_t}\) jest samo w sobie rodziną zbiorów).

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27286
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: Suma uogólniona i indeksowanie

Post autor: Jan Kraszewski » 17 paź 2017, o 16:07

krl pisze:Akurat w 2. zapis jest formalnie poprawny i wiadomo, czym są zbiory po obu stronach równości (rozumiejąc oczywiście, że każde \(\displaystyle{ A_t}\) jest samo w sobie rodziną zbiorów).
Oczywiście, chodziło mi raczej o to, że realne znaczenie jest bardzo odległe od tego, które zapewne przypisuje mu GorveenN. Tym niemniej mój skrót myślowy był jak najbardziej nieuprawniony - akurat w 2. ta równość zachodzi.

JK

GorveenN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 24 sie 2017, o 16:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Re: Suma uogólniona i indeksowanie

Post autor: GorveenN » 17 paź 2017, o 16:41

Czy \(\displaystyle{ \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}}\) mogę potraktować jako sumowanie jednego(?) zbioru \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) ? (pisząc jednego mam na myśli, że \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) będzie pojedynczym zbiorem).
W drugim wypadku jako rodzinę zbiorów mam potraktować \(\displaystyle{ \bigcup A _{t}}\) co będzie także pojedynczym zbiorem? Jak wtedy mam rozumieć indeksy przy \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T}}\)? Czy podejście do takich zapisów, w sposób rozpatrywania ich od lewej jest poprawny?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27286
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: Suma uogólniona i indeksowanie

Post autor: Jan Kraszewski » 17 paź 2017, o 16:56

GorveenN pisze:Czy \(\displaystyle{ \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}}\) mogę potraktować jako sumowanie jednego(?) zbioru \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) ? (pisząc jednego mam na myśli, że \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) będzie pojedynczym zbiorem).
Tak, musisz jednak wiedzieć, co to znaczy. Ma to sens tylko wtedy, gdy ten jeden zbiór jest zbiorem (inaczej: rodziną) zbiorów (bo tylko wtedy definicja sumy uogólnionej ma sens). By zbiór \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) był rodziną zbiorów, to rodziną zbiorów musi być każdy zbiór \(\displaystyle{ A_t.}\)

Na wszelki wypadek przypomnę Ci definicję: jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) jest rodziną zbiorów, to \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal{A}=\left\{x:(\exists A\in \mathcal{A})x\in A \right\}}\).
GorveenN pisze:W drugim wypadku jako rodzinę zbiorów mam potraktować \(\displaystyle{ \bigcup A _{t}}\) co będzie także pojedynczym zbiorem?
Nie. Jako rodzinę zbiorów masz potraktować \(\displaystyle{ A_t}\). Natomiast \(\displaystyle{ \bigcup A _{t}}\) jest pojedynczym zbiorem, którego elementy niekoniecznie muszą być zbiorami.
GorveenN pisze:Jak wtedy mam rozumieć indeksy przy \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T}}\)?
Skoro \(\displaystyle{ A_t}\) jest rodziną zbiorów, to suma tej rodziny jest zbiorem, który mogę oznaczyć przez \(\displaystyle{ \mathcal{A}_t=\bigcup A _{t}}\) i potem mam już normalną sumę indeksowanej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \left\{ \mathcal{A}_t:t\in T\right\}}\).
GorveenN pisze:Czy podejście do takich zapisów, w sposób rozpatrywania ich od lewej jest poprawny?
To znaczy?

JK

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Suma uogólniona i indeksowanie

Post autor: szw1710 » 17 paź 2017, o 17:40

Jan Kraszewski pisze:
szw1710 pisze:Pierwsza notacja jest skrótowa i stosujemy ją, gdy z kontekstu jasno wynika, jaki jest zbiór indeksów \(\displaystyle{ T}\).
(...)
Drugi zapis nie pozostawia żadnych wątpliwości. Można też tak: \(\displaystyle{ \bigcup \{A_t\colon t\in T\}.}\)
Przykro mi szw1710, ale z teoriomnogościowego punktu widzenia to, co napisałeś, jest zupełnie nieprawdziwe.
Chodzi o sumę rodziny zbiorów, którą jest \(\displaystyle{ \{A_t\colon t\in T\}.}\) Kwestia interpretacji nawiasów klamrowych. Owszem, można by to zinterpretować jako zbiór, którego elementami są zbiory \(\displaystyle{ A_t}\). Wtedy rzeczywiście to co napisałem jest złe.

GorveenN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 24 sie 2017, o 16:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Re: Suma uogólniona i indeksowanie

Post autor: GorveenN » 17 paź 2017, o 18:33

Jan Kraszewski pisze:
GorveenN pisze:Czy \(\displaystyle{ \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}}\) mogę potraktować jako sumowanie jednego(?) zbioru \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) ? (pisząc jednego mam na myśli, że \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) będzie pojedynczym zbiorem).
Tak, musisz jednak wiedzieć, co to znaczy. Ma to sens tylko wtedy, gdy ten jeden zbiór jest zbiorem (inaczej: rodziną) zbiorów (bo tylko wtedy definicja sumy uogólnionej ma sens). By zbiór \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) był rodziną zbiorów, to rodziną zbiorów musi być każdy zbiór \(\displaystyle{ A_t.}\)
Czy w takim razie przy założeniu, że \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) jest pojedynczym zbiorem napisanie \(\displaystyle{ \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t} = \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) będzie poprawne?
Jeszcze aby upewnić się, że wszystko zrozumiałem, czy mógłbyś ocenić moje rozumowanie:
\(\displaystyle{ A _{1} = \left\{ \left\{ 1, 2\right\}, \left\{ 3, 4\right\}, \left\{ 5, 6\right\} \right\} \\ A _{2} = \left\{ \left\{ 7, 8\right\}, \left\{ 9, 10\right\} \right\} \\ \bigcup A _{1} = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\right\} \\ \bigcup_{t \in \left\{ 1, 2\right\}} A _{t} = \left\{ \left\{ 1, 2\right\}, \left\{ 3, 4\right\}, \left\{ 5, 6 \right\}, \left\{ 7, 8\right\}, \left\{ 9, 10\right\}\right\}}\)
Ostatnio zmieniony 17 paź 2017, o 18:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27286
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: Suma uogólniona i indeksowanie

Post autor: Jan Kraszewski » 17 paź 2017, o 18:50

GorveenN pisze:Czy w takim razie przy założeniu, że \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) jest pojedynczym zbiorem napisanie \(\displaystyle{ \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t} = \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) będzie poprawne?
Nie. Co to znaczy, że \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} A _{t}}\) jest pojedynczym zbiorem? A jakim innym może być?
GorveenN pisze:Jeszcze aby upewnić się, że wszystko zrozumiałem, czy mógłbyś ocenić moje rozumowanie:
\(\displaystyle{ A _{1} = \left\{ \left\{ 1, 2\right\}, \left\{ 3, 4\right\}, \left\{ 5, 6\right\} \right\} \\ A _{2} = \left\{ \left\{ 7, 8\right\}, \left\{ 9, 10\right\} \right\} \\ \bigcup A _{1} = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\right\} \\ \bigcup_{t \in \left\{ 1, 2\right\}} A _{t} = \left\{ \left\{ 1, 2\right\}, \left\{ 3, 4\right\}, \left\{ 5, 6 \right\}, \left\{ 7, 8\right\}, \left\{ 9, 10\right\}\right\}}\)
Dobrze.

JK

GorveenN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 24 sie 2017, o 16:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Suma uogólniona i indeksowanie

Post autor: GorveenN » 17 paź 2017, o 20:12

\(\displaystyle{ \bigcup \bigcup_{t \in \left\{ 1, 2\right\}} A _{t} = \left\{ \left\{ 1, 2\right\}, \left\{ 3, 4\right\}, \left\{ 5, 6 \right\}, \left\{ 7, 8\right\}, \left\{ 9, 10\right\}\right\} \\ \bigcup_{t \in \left\{ 1, 2\right\}} \bigcup A _{t} = \left\{ \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\right\}, \left\{ 7,8, 9, 10\right\}\right\}}\)
Czy nadal jest dobrze? Jakie zawieranie będzie zachodziło między tymi dwoma zbiorami?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27286
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: Suma uogólniona i indeksowanie

Post autor: Jan Kraszewski » 17 paź 2017, o 20:17

Źle.

\(\displaystyle{ \bigcup \bigcup_{t \in \left\{ 1, 2\right\}} A _{t} = \left\{ 1, 2, 3, 4,5, 6 , 7, 8, 9, 10\right\}= \bigcup_{t \in \left\{ 1, 2\right\}} \bigcup A _{t}}\)

JK

GorveenN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 24 sie 2017, o 16:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Re: Suma uogólniona i indeksowanie

Post autor: GorveenN » 17 paź 2017, o 20:33

Wydaję mi się, że już rozumiem. Jak mogę pokazać tą równość w bardziej "formalny" sposób? Traktowanie \(\displaystyle{ \bigcup A _{t}}\) jako sumy elementów \(\displaystyle{ A _{t}}\), a \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in \left\{ 1, 2\right\}} A _{t}}\) jako sumy zbiorów \(\displaystyle{ A _{t}}\) jest poprawne?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27286
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: Suma uogólniona i indeksowanie

Post autor: Jan Kraszewski » 17 paź 2017, o 20:58

GorveenN pisze:Jak mogę pokazać tą równość w bardziej "formalny" sposób?
To dość proste. Pokażemy, że \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in T} \bigcup A _{t} =\bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}}\). Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x}\). Mamy

\(\displaystyle{ L:\ x\in \bigcup_{t \in T} \bigcup A _{t}\iff \left( \exists t\in T \right) x\in \bigcup A _{t}\iff\\ \iff \left( \exists t\in T \right) \left( \exists A\in A_t \right) x\in A\iff \left( \exists t\in T \right) \left( \exists A \right) \left( A\in A_t\land x\in A \right)}\)

Z drugiej strony mamy

\(\displaystyle{ P:\ x\in \bigcup\bigcup_{t \in T} A _{t}\iff \left( \exists A\in \bigcup_{t \in T} A _{t} \right) x\in A\iff\\ \iff \left( \exists A \right) \left( x\in \bigcup_{t \in T}A _{t} \land x\in A \right) \iff \left( \exists A \right) \left( \left( \exists t\in T \right) \left( x\in A _{t} \right) \land x\in A \right) \iff \\ \iff \left( \exists A \right) \left( \exists t\in T \right) \left( x\in A _{t}\land x\in A \right)}\)

Zatem na mocy prawa przemienności kwantyfikatorów egzystencjalnych mamy \(\displaystyle{ L\iff P}\).
GorveenN pisze:Traktowanie \(\displaystyle{ \bigcup A _{t}}\) jako sumy elementów \(\displaystyle{ A _{t}}\), a \(\displaystyle{ \bigcup_{t \in \left\{ 1, 2\right\}} A _{t}}\) jako sumy zbiorów \(\displaystyle{ A _{t}}\) jest poprawne?
Tak, jeśli pisząc "jako sumy elementów \(\displaystyle{ A _{t}}\)" masz na myśli "jako sumy elementów zbioru \(\displaystyle{ A _{t}}\)". Możesz pomyśleć też tak: jeśli \(\displaystyle{ A_t=\{A_t^i:i\in I\}}\), to \(\displaystyle{ \bigcup A _{t}=\bigcup_{i\in I} A_{t}^i}\).

JK

ODPOWIEDZ