Złożenia funkcji

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Sansi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 6 maja 2017, o 16:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 23 razy

Złożenia funkcji

Post autor: Sansi » 16 paź 2017, o 23:30

a)
\(\displaystyle{ f(x)= x^{2}-1 \\ Df=\RR \\ Zf=(-1, \infty )\\ g(x)=(2x+1) \\ Dg=\RR \\ Zg=\RR \\ f\circ g=f(g(x))=f(2x+1)= (2x+1)^{2}-1 \\ g\circ f=g(f(x))=g(x^{2}-1)=2(x^{2}-1)+1}\)

czy powinnam to dalej wyliczać?

b)
\(\displaystyle{ f(x)=2x+1 \\ Df=\RR \\ Zf=\RR \\ g(x)=\left| \left| x\right| \right|-1\\ Dg=\RR\setminus\{-1;1\} \\ Zg=\RR\setminus\{-1;1\}\\ f(g(x))=f(\left| \left| x\right| \right|-1)=2(\left| \left| x\right| \right|-1)+1 \\ g(f(x))=g(2x+1)=\left| \left| 2x+1\right| \right|-1}\)

c)
\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{x} \\ Df=\NN \\ g(x)= x^{2} \\ Dg=\RR}\)
brak złożenia?

d)
\(\displaystyle{ f(x)=\cos x \\ Df=\RR \\ g(x)=x+1 \\ Dg=\RR\setminus\{-1\} \\ f\circ g=f(g(x))=f(x+1)=\cos (x+1) \\ g\circ f=g(f(x))=g(\cos x)=(\cos x)+1}\)

e)
\(\displaystyle{ f(x)=(x-1) ^{5} \\ Df=\RR \\ g(x)= x^{2}+3x-2 \\ f\circ g=f(g(x))=f(x^{2}+3x-2)=((x^{2}+3x-2)-1) ^{5} \\ g\circ f=g(f(x))=g((x-1) ^{5})=((x-1) ^{5})^{2}+3((x-1) ^{5})-2}\)

f)
\(\displaystyle{ f(x)= x^{2}-1 \\ g(x)= \sqrt{x-1} \\ f\circ g=f(g(x))=f(\sqrt{x-1})=(\sqrt{x-1})^{2}-1 \\ g\circ f=g(f(x))=g(x^{2}-1)=\sqrt{(x^{2}-1)-1}}\)
Ostatnio zmieniony 17 paź 2017, o 00:15 przez Sansi, łącznie zmieniany 2 razy.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27285
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4593 razy

Złożenia funkcji

Post autor: Jan Kraszewski » 17 paź 2017, o 00:00

Sansi pisze:a)
\(\displaystyle{ g(x)=(2x+1) \\ Df=\RR \\ Zf=\RR}\)
Chyba \(\displaystyle{ D_g}\) i \(\displaystyle{ Z_g}\). W pozostałych przykładach ta sama pomyłka.
Sansi pisze:\(\displaystyle{ f\circ g=f(g(x))=f(2x+1)= (2x+1)^{2}-1 \\ g\circ f=g(f(x))=g(x^{2}-1)=2(x^{2}-1)+1}\)

czy powinnam to dalej wyliczać?
No w sumie wypadałoby. Poza tym dobrze
Sansi pisze:b)
\(\displaystyle{ g(x)=\left| \left| x\right| \right|-1\\ Df=\RR\setminus\{-1;1\} \\ Zf=\RR\setminus\{-1;1\}}\)
Co to jest \(\displaystyle{ ||x||}\) ?
Sansi pisze:c)
\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{x} \\ Df=\NN}\)
A dziedzinę masz daną czy wyznaczasz?
Sansi pisze:\(\displaystyle{ g(x)= x^{2} \\ Df=\RR}\)
brak złożenia?
Dlaczego?
Sansi pisze:d)
\(\displaystyle{ g(x)=x+1 \\ Df=\RR\setminus\{-1\}}\)
A to skąd?
Sansi pisze:e)
\(\displaystyle{ f(x)=(x-1) ^{5} \\ Df=\RR \\ g(x)= x^{2}+3x-2 \\ f\circ g=f(g(x))=f(x^{2}+3x-2)=((x^{2}+3x-2)-1) ^{5} \\ g\circ f=g(f(x))=g((x-1) ^{5})=((x-1) ^{5})^{2}+3((x-1) ^{5})-2}\)
Dobrze.
Sansi pisze:f)
\(\displaystyle{ f(x)= x^{2}-1 \\ g(x)= \sqrt{x-1} \\ f\circ g=f(g(x))=f(\sqrt{x-1})=(\sqrt{x-1})^{2}-1 \\ g\circ f=g(f(x))=g(x^{2}-1)=\sqrt{(x^{2}-1)-1}}\)
No tu zdecydowanie brakuje informacji o dziedzinach (i co z tego wynika).

JK

Sansi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 6 maja 2017, o 16:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 23 razy

Złożenia funkcji

Post autor: Sansi » 17 paź 2017, o 00:14

Jan Kraszewski pisze:
Sansi pisze:a)
\(\displaystyle{ g(x)=(2x+1) \\ Df=\RR \\ Zf=\RR}\)
Chyba \(\displaystyle{ D_g}\) i \(\displaystyle{ Z_g}\). W pozostałych przykładach ta sama pomyłka.
JK
Tak głupia pomyłka zaraz poprawię
Jan Kraszewski pisze:
Sansi pisze:b)
\(\displaystyle{ g(x)=\left| \left| x\right| \right|-1\\ Df=\RR\setminus\{-1;1\} \\ Zf=\RR\setminus\{-1;1\}}\)
Co to jest \(\displaystyle{ ||x||}\) ?
wartość bezwzględna z x
Jan Kraszewski pisze:
Sansi pisze:c)
\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{x} \\ Df=\NN}\)
A dziedzinę masz daną czy wyznaczasz?
Mam za zadanie wyznaczyć i przyznam szczerze, że za każdym razem mam przeczucie, że zrobię to źle. Podobnie zbiór wartości :/
Jan Kraszewski pisze:
Sansi pisze:\(\displaystyle{ g(x)= x^{2} \\ Df=\RR}\)
brak złożenia?
Dlaczego?
właśnie mam wrażenie, że zbiór wartości i dziedzina się wykluczają. Mógłbyś mi to wyjaśnić w tym przykładzie?
Jan Kraszewski pisze:
Sansi pisze:d)
\(\displaystyle{ g(x)=x+1 \\ Df=\RR\setminus\{-1\}}\)
A to skąd?
Ah spojrzałam na przykład z innego zadania gdzie taka funkcja znajdowała się w mianowniku i chciałam żeby się nie zerowało. Mój błąd
Jan Kraszewski pisze:
Sansi pisze:f)
\(\displaystyle{ f(x)= x^{2}-1 \\ g(x)= \sqrt{x-1} \\ f\circ g=f(g(x))=f(\sqrt{x-1})=(\sqrt{x-1})^{2}-1 \\ g\circ f=g(f(x))=g(x^{2}-1)=\sqrt{(x^{2}-1)-1}}\)
No tu zdecydowanie brakuje informacji o dziedzinach (i co z tego wynika).
Mógłbyś mi w wolnej chwili napisać jaka tutaj dziedzina i wartość funkcji? Tak możliwie prosto bardzo proszę

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27285
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4593 razy

Złożenia funkcji

Post autor: Jan Kraszewski » 17 paź 2017, o 00:41

Sansi pisze:
Jan Kraszewski pisze:
Sansi pisze:b)
\(\displaystyle{ g(x)=\left| \left| x\right| \right|-1\\ Df=\RR\setminus\{-1;1\} \\ Zf=\RR\setminus\{-1;1\}}\)
Co to jest \(\displaystyle{ ||x||}\) ?
wartość bezwzględna z x
Wartość bezwzględna z \(\displaystyle{ x}\) oznaczamy przez \(\displaystyle{ |x|}\). Skąd wzięłaś dziedzinę i zbiór wartości dla tej funkcji?
Sansi pisze:
Jan Kraszewski pisze:
Sansi pisze:c)
\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{x} \\ Df=\NN}\)
A dziedzinę masz daną czy wyznaczasz?
Mam za zadanie wyznaczyć
To dlaczego wzięłaś akurat liczby naturalne? Przecież pierwiastek kwadratowy jest określony dla dowolnej liczby nieujemnej, więc \(\displaystyle{ D_f=[0,+infty)}\) (oraz \(\displaystyle{ Z_f=[0,+infty)}\)).
Sansi pisze:i przyznam szczerze, że za każdym razem mam przeczucie, że zrobię to źle. Podobnie zbiór wartości
A jak się do tego zabierasz?
Sansi pisze:
Jan Kraszewski pisze:
Sansi pisze:\(\displaystyle{ g(x)= x^{2} \\ Df=\RR}\)
brak złożenia?
Dlaczego?
właśnie mam wrażenie, że zbiór wartości i dziedzina się wykluczają.
Co to znaczy "wykluczają się"? Funkcję \(\displaystyle{ f}\) możesz złożyć z funkcją \(\displaystyle{ g}\) jeśli \(\displaystyle{ Z_f \subseteq D_g}\). W tym przykładzie bez problemu możesz wykonać oba złożenia.
Sansi pisze:
Jan Kraszewski pisze:
Sansi pisze:f)
\(\displaystyle{ f(x)= x^{2}-1 \\ g(x)= \sqrt{x-1} \\ f\circ g=f(g(x))=f(\sqrt{x-1})=(\sqrt{x-1})^{2}-1 \\ g\circ f=g(f(x))=g(x^{2}-1)=\sqrt{(x^{2}-1)-1}}\)
No tu zdecydowanie brakuje informacji o dziedzinach (i co z tego wynika).
Mógłbyś mi w wolnej chwili napisać jaka tutaj dziedzina i wartość funkcji? Tak możliwie prosto bardzo proszę
Masz \(\displaystyle{ D_f=RR, Z_f=[-1,+infty), D_g=[1+infty), Z_g=[0,+infty)}\). Wobec tego bez problemu możesz wykonać złożenie \(\displaystyle{ f\circ g}\) (bo \(\displaystyle{ Z_g \subseteq D_f}\)) i wyjdzie Ci \(\displaystyle{ f\circ g(x)=x-2}\), ale \(\displaystyle{ D_{fcirc g}=D_g=[1+infty)}\). Natomiast drugiego złożenia nie możesz wykonać "tak po prostu", bo \(\displaystyle{ Z_f\not \subseteq D_g}\). Żeby dało się to złożenie wykonać ( i napisać wzór, który napisałaś) trzeba by ograniczyć dziedzinę funkcji \(\displaystyle{ f}\) w taki sposób, by zmniejszył się także jej zbiór wartości (i zaczął być spełniany warunek konieczny). W tym wypadku chodzi nam o to, by \(\displaystyle{ (x^{2}-1)-1\ge 0}\), więc musielibyśmy rozważać funkcję \(\displaystyle{ f}\) nie w dziedzinie \(\displaystyle{ D_f=\RR}\), tylko w dziedzinie \(\displaystyle{ \bar{D}_f=\RR\setminus(- \sqrt{2}, \sqrt{2})}\).

JK

ODPOWIEDZ