Zbiory na płaszczyźnie zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Falwack
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 25 wrz 2016, o 19:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Zbiory na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: Falwack » 16 paź 2017, o 19:22

Witam! Mam taki mały problem... Nie chodzi mi o samo rozwiązanie, po prostu rozwiązując te 4 przykłady dochodzę do pewnego momentu, w którym nie wiem co mam robić dalej.

Ogólnie zadanie to narysowanie na płaszczyźnie zespolonej zbiorów.

1) \(\displaystyle{ |z|+\Re(z)<1}\)
Tutaj w tym przykładzie po przekształceniach dochodzę do takiej postaci: (W sumie tutaj to jest mało przekształceń, bo po prostu nie wiem co dalej)

\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}+x<1}\)
Mój pierwszy pomysł to jest jedynie podniesienie tego wszystkiego obustronnie do kwadratu z przerzuceniem \(\displaystyle{ x}\) na prawą stronę. Czy to jest dobre rozumowanie?

2)\(\displaystyle{ z*\overline{z}+z-\overline{z}=3+2i}\)
Tutaj po przekształceniach dochodzę do postaci
\(\displaystyle{ x^2+y^2-3=i(2-2y)}\) Pierwszym pomysłem jaki tutaj mam to wyznaczyć część rzeczywistą i urojoną i ewentaulnie one powinny być w mojej głowie jako proste, które gdzieś się przetną i to będzie ten zbiór?

3)\(\displaystyle{ x(z+\overline{z})+i(z-\overline{z})=2i-3}\)
Tu po przekształceniach dochodzę do postaci:
\(\displaystyle{ -2y+3+i(2x-2)=0}\)
Mój pomysł jest dokładnie taki sam jak w przykładzie drugim.

4) \(\displaystyle{ |z|+z=2+i}\)
Tu po przekształceniach jest podobnie jak w pierwszym przykładzie:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}+x+iy=2+i}\)
Zatem pomysł obustronnego podniesienia do kwadratu występuje również tutaj.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Zbiory na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: Premislav » 16 paź 2017, o 19:28

1) Lepiej to jeszcze zapisać w postaci \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}<1-x}\). Teraz zauważ, że gdy \(\displaystyle{ x>1,}\) to ta nierówność nie może zachodzić, zaś dla \(\displaystyle{ x\le 1}\) (czyli \(\displaystyle{ \Re z\le 1}\)) możesz podnieść stronami do kwadratu.
Pomysł do 2) i 3) dobry, obliczeń do końca nie sprawdzałem.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19188
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3244 razy

Re: Zbiory na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: a4karo » 16 paź 2017, o 19:31

1. Podnoszenie nierówności do kwadratu jest dobrym pomysłem pod warunkiem, że robi sie to przy zachowaniu środków bezpieczeństwa (np spróbuj "skwadracić" \(\displaystyle{ -5<3}\))

Pomyśl jakie to środki

2. Warto zauważyć, że pierwszy iloczyn jest liczbą rzeczywistą, a nastepująca po nim różnica jest czysto urojona.

Falwack
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 25 wrz 2016, o 19:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Re: Zbiory na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: Falwack » 16 paź 2017, o 19:51

Premislav pisze:1) Lepiej to jeszcze zapisać w postaci \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}<1-x}\). Teraz zauważ, że gdy \(\displaystyle{ x>1,}\) to ta nierówność nie może zachodzić, zaś dla \(\displaystyle{ x\le 1}\) (czyli \(\displaystyle{ \Re z\le 1}\)) możesz podnieść stronami do kwadratu.
Pomysł do 2) i 3) dobry, obliczeń do końca nie sprawdzałem.
No tak, dokładnie o to mi chodziło.

A przykład 4) ?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Zbiory na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: Premislav » 16 paź 2017, o 19:56

Tu po przekształceniach jest podobnie jak w pierwszym przykładzie:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}+x+iy=2+i}\)
Zatem pomysł obustronnego podniesienia do kwadratu występuje również tutaj.
Nie, nie, nie.
Porównaj teraz części rzeczywiste i urojone obu stron. Podniesienie do kwadratu nie jest tu dobrym pomysłem, np. z tego, że \(\displaystyle{ i^2=(-i)^2}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ i=-i}\)-- 16 paź 2017, o 19:58 --Za to jak już przejdziesz do porównywania części rzeczywistej i urojonej, to oczywiście możesz podnosić do kwadratu, tylko przy odpowiednich założeniach.

Falwack
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 25 wrz 2016, o 19:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Re: Zbiory na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: Falwack » 16 paź 2017, o 19:59

Czyli mam zrobić po prostu takie coś?
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}+x=2}\)
\(\displaystyle{ iy=i}\)

I teraz mogę podnieść to do kwadratu? Tylko nie za bardzo to drugie równanie mi się widzi podnosić. Raczej ja bym to przeniósł na drugą stronę i wyznaczył część urojoną.

Ale w zasadzie jak dalej na porównaniu tego dojść do tego jak wygląda ten zbiór na płaszczyźnie?
Chyba, że to ma być układ równań, dobrze rozumuję?

Przepraszam za moje takie dość głupie pytania, ale dopiero co wchodzę w zbiór liczb zespolonych i tak niezbyt dalej rozumiem o co tu się rozchodzi i jak na nim pracować.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Zbiory na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: Premislav » 16 paź 2017, o 20:04

Tak, taki układ równań rozwiązujesz.

Falwack
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 73
Rejestracja: 25 wrz 2016, o 19:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Re: Zbiory na płaszczyźnie zespolonej

Post autor: Falwack » 16 paź 2017, o 20:05

I rozwiązanie tego układu równań, to będzie ten zbiór na płaszczyźnie zespolonej?
A tak z innej beczki... Mogę w tym drugim równaniu podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ i}\) a potem \(\displaystyle{ y=1}\) podstawić do równania na górze?

ODPOWIEDZ