Dowód - przekrój zbiorów

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Dowód - przekrój zbiorów

Post autor: Kalkulatorek » 16 paź 2017, o 18:53

Witam!
Prosiłbym o komentarz odnośnie mojej próby rozwiązania tego zadania:

Udowodnić, że \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest największym zbiorem zawierającym się w \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).

Rozważmy pewien zbiór \(\displaystyle{ Z}\), w którym zawierają się zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).
1. Biorę dowolny obiekt \(\displaystyle{ x}\) taki, że \(\displaystyle{ x \in A \cap B}\)
2. \(\displaystyle{ A \cap B}\) będzie podzbiorem \(\displaystyle{ Z}\), jeśli
\(\displaystyle{ x \in A \cap B \Rightarrow x \in Z \\ (x \in A \land x \in B) \Rightarrow x \in Z}\)
Na mocy inkluzji z treści zadania dostajemy
\(\displaystyle{ x\in Z \land x \in Z \rightarrow x \in Z \Rightarrow x\in Z}\)
Zatem \(\displaystyle{ A \cap B \subseteq Z}\)

Czy ten dowód jest poprawny?
Skąd mamy jednak pewność, że jest to największy taki zbiór?
Ostatnio zmieniony 16 paź 2017, o 21:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 4 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Dowód - przekrój zbiorów

Post autor: Premislav » 16 paź 2017, o 19:35

Udowodnić, że \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest najmniejszym zbiorem zawierającym jednocześnie zbiory A i B
To nie jest prawda. Dobrze przepisałeś???
\(\displaystyle{ A \cap B}\) jest największym zbiorem (w sensie zawierania), który zawiera się zarówno w \(\displaystyle{ A}\), jak i w \(\displaystyle{ B}\), natomiast \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest najmniejszym (w sensie zawierania znów) zbiorem, który zawiera zarówno \(\displaystyle{ A}\), jak i \(\displaystyle{ B}\).

Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Dowód - przekrój zbiorów

Post autor: Kalkulatorek » 16 paź 2017, o 19:49

Faktycznie, w moim poście byl błąd.
Poprawiłem.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27284
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4591 razy

Dowód - przekrój zbiorów

Post autor: Jan Kraszewski » 16 paź 2017, o 21:43

Kalkulatorek pisze:Rozważmy pewien zbiór \(\displaystyle{ Z}\), w którym zawierają się zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).
Zmieniłeś treść nie zmieniając dowodu. Nie to masz rozważyć.

JK

ODPOWIEDZ