Równanie różniczkowe 4 rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Buttshark
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 16 paź 2017, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Równanie różniczkowe 4 rzędu

Post autor: Buttshark » 16 paź 2017, o 18:43

Cześć, na studiach po wielu latach powróciły równania różniczkowe i trafiłem na jedno którego nie potrafię rozgryźć:
Mianowicie:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} \frac{d}{dx}\left( x\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x} \frac{d}{dx}\left( x\frac{du(x)}{dx}\right)\right) \right)=0}\)

W książce do sprężyn znalazłem całkę ogólną:
\(\displaystyle{ u(x)= A \ln x + B x ^{2}\ln x +C x ^{2} +D}\)
Moze ktoś zna sposób rozwiązywania takiego równania i mógłby sie podzielić
Dzięki
Ostatnio zmieniony 16 paź 2017, o 22:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Równanie różniczkowe 4 rzędu

Post autor: NogaWeza » 16 paź 2017, o 19:54

Ja proponuję po kolei zdejmować te operatory różniczkowania poprzez całkowanie obustronne.

Jeśli lewa strona ma być tożsamościowo (czyli dla każdego argumentu) równa \(\displaystyle{ 0}\), to wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{d}{dx}\left( x\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x} \frac{d}{dx}\left( x\frac{du(x)}{dx}\right)\right) \right)=0}\), bo \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) nie jest równe zero nigdy.

Całkujemy obustronnie, teraz mamy \(\displaystyle{ x\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x} \frac{d}{dx}\left( x\frac{du(x)}{dx}\right)\right) = C}\) - tutaj mam nadzieję, że wiadomo dlaczego po prawej stronie pojawia się \(\displaystyle{ C}\). No to dzielmy teraz przez \(\displaystyle{ x}\) z zastrzeżeniem, że \(\displaystyle{ x \neq 0}\), mamy \(\displaystyle{ \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x} \frac{d}{dx}\left( x\frac{du(x)}{dx}\right)\right) = \frac{C}{x}}\), teraz znów całkujmy obustronnie. Po lewej stronie odpadnie kolejny operator różniczkowania, po prawej zaś dostaniemy \(\displaystyle{ C \ln |x|}\). Teraz trzeba to powtórzyć jeszcze parę razy i chyba uda się dobrnąć do końca.

Buttshark
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 16 paź 2017, o 18:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Równanie różniczkowe 4 rzędu

Post autor: Buttshark » 16 paź 2017, o 20:18

Super dzięki

ODPOWIEDZ