Sprawdzić, czy następujące zdanie jest prawdziwe

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Sprawdzić, czy następujące zdanie jest prawdziwe

Post autor: Kalkulatorek » 16 paź 2017, o 17:12

Witam!

Mam sprawdzić, czy dla dowolnych zbiorów prawdziwe jest poniższe zdanie:
\(\displaystyle{ (A \subseteq B) \lor (B \subseteq C) \Rightarrow (A \cup B) \subseteq C}\) .

Jeżeli lewa część implikacji jest fałszywa, to wtedy zdanie jest prawdziwe. Zatem rozważam tylko przypadek, w którym zakładam, że lewa strona jest prawdziwa. Z założeń mamy:
\(\displaystyle{ ( x \in A \rightarrow x\in C) \lor (x \in B \rightarrow x \in C )}\)
gdzie x jest dowolnym obiektem.
Aby ta alternatywa była prawdziwa, co najmniej jedna z tych implikacji musi być prawdziwa.
Korzystam z zasady eliminacji implikacji
\(\displaystyle{ (x \notin A \lor x \in C) \lor (x\notin B \lor x\in C)}\)
\(\displaystyle{ x \notin A \lor x \notin B \lor x \in C}\)
\(\displaystyle{ x \notin A \cup B \lor x \in C}\)
Ponownie, z prawa eliminacji implikacji
\(\displaystyle{ x \in A \cup B \rightarrow x \in C}\)
Zatem zdanie jest prawdziwe.

Czy w moim rozumowaniu są jakieś błędy?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15211
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Sprawdzić, czy następujące zdanie jest prawdziwe

Post autor: Premislav » 16 paź 2017, o 17:46

A nie miało być może takie zdanie:
\(\displaystyle{ (A \subseteq B) \wedge (B \subseteq C) \Rightarrow (A \cup B) \subseteq C?}\)
To zdanie, które napisałeś, ewidentnie nie jest w ogólności prawdziwe, rozważ
\(\displaystyle{ A=\left\{ 0,1\right\}, B=\left\{ 2\right\}, C=\left\{ 0,1\right\}}\)

Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Re: Sprawdzić, czy następujące zdanie jest prawdziwe

Post autor: Kalkulatorek » 16 paź 2017, o 17:51

Nie, poprawnie przepisałem zdanie.
Znaczy to, że pomyliłem się gdzieś na etapie przekształceń,
Nie widzę jednak, gdzie.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15211
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Sprawdzić, czy następujące zdanie jest prawdziwe

Post autor: Premislav » 16 paź 2017, o 18:14

Drobna uwaga: zamiast "lewa strona implikacji" proponuję pisać "poprzednik implikacji".

Zasadniczy błąd jest tutaj:
\(\displaystyle{ x \notin A \lor x \notin B \lor x \in C\\ x \notin A \cup B \lor x \in C}\)
To, że \(\displaystyle{ x \notin A \vee x\notin B}\) jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ x\notin A\cap B}\), nie zaś temu, że \(\displaystyle{ x\notin A\cup B}\) - jeśli tego nie widzisz, to np. sobie rozrysuj.

Kalkulatorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 3 cze 2014, o 21:01
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 52 razy

Re: Sprawdzić, czy następujące zdanie jest prawdziwe

Post autor: Kalkulatorek » 16 paź 2017, o 18:20

Dzięki, teraz już widzę, ten głupi błąd.

Wydaje mi się jednak, że taki sposób postępowania - mianowicie, przeksztalcanie wyrażenia logicznego, nie doprowadzi do rozwiązania zadania, jeśli zdanie w istocie nie jest prawdziwe.
Pomyślałem, że dobrze by było sobie to wstępnie rozrysować przed przystąpieniem do rozwiązywania zadania. Jeśli z rysunku wyjdzie, że zdania są prawdziwe, można wtedy rozwiązywać je w taki sposób.

Jak jednak zabrać się za takie zadanie, gdy zdanie jest fałszywe?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15211
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Sprawdzić, czy następujące zdanie jest prawdziwe

Post autor: Premislav » 16 paź 2017, o 19:02

Czasami od razu się widzi, że zdanie jest fałszywe (choć przeważnie to przychodzi z doświadczeniem dopiero). Wtedy po prostu szukasz prostego kontrprzykładu (albo mniej prostego). Przy takich prostych zadaniach dobrze sobie czasem rozrysować na kartce jakieś zbiory jak w szkole średniej czy przedszkolu, to pomaga zobaczyć, co się dzieje.
Jeśli nie widzisz, że zdanie jest nieprawdziwe, to można spróbować udowodnić, że jest prawdziwe, a gdy napotkasz problem, to zastanów się, czy wynika on z braku wiedzy/pomysłu, czy raczej z tego, że to nie jest prawda; czasem zacięcie się przy próbie dowodu pokazuje, czemu teza nie może być prawdziwa.

Można tez oczywiście rozpisywać to zerami i jedynkami, ale ja tego nie lubię.-- 16 paź 2017, o 19:04 --Nie wiem, czy to się trzyma kupy, bo ja nie umiem odpowiadać na takie filozoficzne pytania. Jest zadanie - to zrobię (albo nie, jeśli nie będę umiał).

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27304
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4597 razy

Sprawdzić, czy następujące zdanie jest prawdziwe

Post autor: Jan Kraszewski » 16 paź 2017, o 21:35

Kalkulatorek pisze:Jeżeli lewa część implikacji jest fałszywa, to wtedy zdanie jest prawdziwe. Zatem rozważam tylko przypadek, w którym zakładam, że lewa strona jest prawdziwa.
To zdanie pokazuje, że nie odróżniasz implikacji od wynikania.
Kalkulatorek pisze:Z założeń mamy:
\(\displaystyle{ ( x \in A \rightarrow x\in C) \lor (x \in B \rightarrow x \in C )}\)
gdzie x jest dowolnym obiektem.
Bardzo chciałbym zobaczyć, jak uzasadnisz, że to wynika z założeń.

Osobiście zwalczam taki sposób przeprowadzania tego typu dowodów. Podejrzewam, że nie byłbyś w stanie obronić poprawności podanego przez Ciebie dowodu.

Przeprowadzając takie dowody zaczynasz od tezy: masz udowodnić, że \(\displaystyle{ A\cup B \subseteq C}\). Korzystając z definicji zawierania ustalasz dowolne \(\displaystyle{ x\in A\cup B}\), potem korzystasz z definicji sumy zbiorów, potem z założenia i koniec dowodu.

JK

ODPOWIEDZ