Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
Awatar użytkownika
VirtualUser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 443
Rejestracja: 2 wrz 2017, o 11:13
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 113 razy
Pomógł: 15 razy

Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def

Post autor: VirtualUser » 16 paź 2017, o 17:08

Wykaż, na podstawie definicji, że funkcja f określona wzorem

\(\displaystyle{ [\log_{3}{x}]^2}\) jest malejąca w zbiorze \(\displaystyle{ (0, 1)}\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def

Post autor: janusz47 » 16 paź 2017, o 18:04

Jaka jest definicja funkcji malejącej \(\displaystyle{ f}\) na przedziale \(\displaystyle{ P?}\)

Sprawdź, czy funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \log_{3}(x)}\) jest malejąca na przedziale \(\displaystyle{ (0, 1).}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19188
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3244 razy

Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def

Post autor: a4karo » 16 paź 2017, o 19:01

janusz47 pisze:
Sprawdź, czy funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \log_{3}(x)}\) jest malejąca na przedziale \(\displaystyle{ (0, 1).}\)
A po co każesz to sprawdzać jak to nieprawda?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def

Post autor: janusz47 » 16 paź 2017, o 20:42

Czy tylko prawdę się sprawdza?

Czy od sprawdzenia monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \log_{3}(x)}\), a potem funkcji
\(\displaystyle{ g(x) = f^2(x)}\) (żeby przekonać się jaki wpływ na monotoniczność ma podniesienie do drugiej potęgi) - głowa zaboli od przepracowania się ?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19188
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3244 razy

Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def

Post autor: a4karo » 16 paź 2017, o 21:28

Wsk. Zbadaj znak liczby \(\displaystyle{ \log_3^2 y-\log_3^2 x}\) dla \(\displaystyle{ 0<x<y<1}\)

Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 466
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 80 razy

Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def

Post autor: Rafsaf » 16 paź 2017, o 21:48

janusz47
Jak użytkownik a4karo zwraca uwagę że coś jest nie tak, to raczej rzeczywiście coś jest nie tak

A co do zadanka to niech \(\displaystyle{ x_1>x_2 \wedge x_1,x_2 \in (0,1)}\)

Badam różnicę:
\(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)=\log ^{2}_3x_1-\log ^{2}_3x_2=(\log _3x_1+\log _3x_2)(\log _3x_1-\log _3x_2)= \\ \log _3x_1x_2 \cdot \log _3 \frac{x_1}{x_2}}\)

Z zał \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in (0,1) \Rightarrow x_1 \cdot x_2 \in (0,1) \Rightarrow \log _3x_1x_2<0}\)
Analogicznie \(\displaystyle{ x_1>x_2 \Rightarrow \frac{x_1}{x_2}>1 \Rightarrow \log _3 \frac{x_1}{x_2}>0}\)

Z tego wniosek że \(\displaystyle{ f(x_1)-f(x_2)<0}\), co przy wcześniejszym założeniu że \(\displaystyle{ x_1>x_2}\) oznacza że funkcja w tym przedziale jest malejąca.
Ostatnio zmieniony 16 paź 2017, o 21:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def

Post autor: janusz47 » 16 paź 2017, o 23:56

\(\displaystyle{ f(x) = \log_{3}(x).}\)

Niech \(\displaystyle{ a , b \in (0,1)}\) i \(\displaystyle{ a<b}\) wtedy z tego że funkcja logarytmiczna przy podstawie \(\displaystyle{ p=3 >1}\) jest funkcją rosnącą wynika, że

\(\displaystyle{ \log_{3}(a) < \log_{3}(b)}\)

czyli

\(\displaystyle{ \log_{3}(a) - \log_{3}(b) < 0.}\) (1)

Funkcja \(\displaystyle{ f(x) =\log_{3}(x)}\) jest funkcją rosnącą.

Rozpatrujemy teraz funkcję:

\(\displaystyle{ g(x) = f^2(x) = \log^2_{3}(x).}\)

Uwzględniając różnicę, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ g(a) - g(b) = [\log^2_{3}(a) - \log^2_{3}(b)] = [\log_{3}(a) - \log_{3}(b)]\cdot [\log_{3}(a) +\log_{3}(b) ] > 0}\)

\(\displaystyle{ (-)\cdot (-) = (+)}\)

Na podstawie nierówności (1) i z tego, że suma wartości funkcji

\(\displaystyle{ \log_{3}(a)+\log_{3}(b)< 0}\), dla argumentów \(\displaystyle{ a, b \in (0,1).}\)

Funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest więc funkcją malejącą.

Rafsafcie myślę, że teraz rozumiesz do czego było potrzebne wspomnienie o monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \log_{3}(x).}\)

A ponadto jestem pewien, że Pan a4karo - nie potrzebuje adwokatów-obrońców, bo świetnie sobie na forum radzi.

Awatar użytkownika
Rafsaf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 466
Rejestracja: 19 lut 2017, o 11:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie/Wrocław
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 80 razy

Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def

Post autor: Rafsaf » 17 paź 2017, o 00:49

Szanowny januszu47, nie mam pojęcia po co było to robić, w gruncie rzeczy dowiodłeś że z tego że funkcja logartymiczna o podstawie \(\displaystyle{ p=3>1}\) jest rosnąca wynika że funkcja logarytmiczna o podstawie \(\displaystyle{ p=3}\) jest funkcją rosnącą, co nie jest w moich oczach spektakularnym odkryciem.

Podpisuję się pod tym obiema rękami, ale myślę że nie jest to zabieg konieczny, wybacz też tą celową zaczepkę z poprzedniego postu jak i z obecnego, ale nie mogłem się powstrzymać, liczę na celną ripostę

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def

Post autor: janusz47 » 17 paź 2017, o 08:32

Rafsafcie

niepotrzebnie "zwijałeś" logarytmy, bo i tak korzystamy z funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\log_{3}(x),}\) o której monotoniczności należało wcześniej wspomnieć.
Ostatnio zmieniony 17 paź 2017, o 08:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27285
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4593 razy

Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def

Post autor: Jan Kraszewski » 17 paź 2017, o 08:58

janusz47 pisze: niepotrzebnie "zwijałeś" logarytmy, bo i tak korzystamy z funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\log_{3}(x),}\) o której monotoniczności należało wcześniej wspomnieć.
No cóż, kwestia, czy było to potrzebne, jest subiektywna. Rozwiązanie Rafsafa jest nieco krótsze i bardziej pomysłowe od Twojego, nie wymaga też korzystania z monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\log_{3}(x)}\) - korzystamy tu z innej wiedzy o tej funkcji.

Natomiast Twoje rozwiązanie jest bardziej standardowe i jako takie można uznać je za bardziej naturalne, choć to też ocena subiektywna.

JK

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def

Post autor: janusz47 » 17 paź 2017, o 09:32

No cóż, to jest Pana opinia z którą się zupełnie nie zgadzam, bo dowodzi ona niedojrzałości matematycznej.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27285
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4593 razy

Re: Wykazywanie monotoniczności funkcji logarytmicznej z def

Post autor: Jan Kraszewski » 17 paź 2017, o 11:33

I tym merytorycznym argumentem zakończmy tę dyskusję - problem w temacie został przynajmniej dwukrotnie rozwiązany.

JK

ODPOWIEDZ