Proszę o pomoc w zadaniu z analizy zespolonej, konkretnie w znalezieniu promienia zbieżności szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+z)^2}}\)
Zastanawiam się, jak przekształcić(lub co podstawić) żeby miało to ładną postać szeregu potęgowego. Niestety nie mam pomysłu jak to ruszyć. Chciałbym prosić o jakąś wskazówkę.
Promień zbieżności - analiza zespolona
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Promień zbieżności - analiza zespolona
Mówienie tutaj o promieniu zbieżności może być niefortunne (ale nie musi, nie doliczyłem tego).
Wskazówka:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(z+n)^2} = \sum_{m=1}^{ \infty } \frac{m}{n^{m+1}}(-1)^mz^{m-1}}\)
-- 16 paź 2017, o 16:23 --
Chociaż można też zrobić coś takiego: gdy \(\displaystyle{ |z|<1}\), to
\(\displaystyle{ \left| \frac{1}{(z+n)^2} \right| = \frac{1}{|z+n|^2}\le \frac{1}{(n-|z|)^2}}\)
dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\)
i analogicznie ustalmy dowolne \(\displaystyle{ M>0}\). Wówczas dla liczb zespolonych spełniających \(\displaystyle{ |z|<M \wedge z \notin \ZZ\setminus \ZZ^+}\) możemy rozbić:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+z)^2}= \sum_{n=1}^{\lfloor M \rfloor} \frac{1}{(z+n)^2}+ \sum_{n>\lfloor M \rfloor}^{} \frac{1}{(z+n)^2}}\), gdzie pierwsze to suma skończenie wielu dobrze określonych składników a moduł tego ogona możemy oszacować (dość grubo chyba) z nierówności
\(\displaystyle{ \frac{1}{|z+n|^2} \le \frac{1}{(n-|z|)^2} < \frac{1}{(n-M)^2}}\)
przez \(\displaystyle{ |\text{coś tam zespolonego}|+ \sum_{n>\lfloor M\rfloor}^{} \frac{1}{(n-M)^2}}\)
Wniosek: ten szereg jest zbieżny dla dowolnych \(\displaystyle{ z \in \CC}\) niebędących liczbami całkowitymi ujemnymi (dla takowych nie jest nawet dobrze określony).
-- 16 paź 2017, o 16:24 --
Oczywiście, \(\displaystyle{ \text{ coś tam zespolonego}}\) zależy od \(\displaystyle{ z}\).
Wskazówka:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(z+n)^2} = \sum_{m=1}^{ \infty } \frac{m}{n^{m+1}}(-1)^mz^{m-1}}\)
-- 16 paź 2017, o 16:23 --
Chociaż można też zrobić coś takiego: gdy \(\displaystyle{ |z|<1}\), to
\(\displaystyle{ \left| \frac{1}{(z+n)^2} \right| = \frac{1}{|z+n|^2}\le \frac{1}{(n-|z|)^2}}\)
dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\)
i analogicznie ustalmy dowolne \(\displaystyle{ M>0}\). Wówczas dla liczb zespolonych spełniających \(\displaystyle{ |z|<M \wedge z \notin \ZZ\setminus \ZZ^+}\) możemy rozbić:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+z)^2}= \sum_{n=1}^{\lfloor M \rfloor} \frac{1}{(z+n)^2}+ \sum_{n>\lfloor M \rfloor}^{} \frac{1}{(z+n)^2}}\), gdzie pierwsze to suma skończenie wielu dobrze określonych składników a moduł tego ogona możemy oszacować (dość grubo chyba) z nierówności
\(\displaystyle{ \frac{1}{|z+n|^2} \le \frac{1}{(n-|z|)^2} < \frac{1}{(n-M)^2}}\)
przez \(\displaystyle{ |\text{coś tam zespolonego}|+ \sum_{n>\lfloor M\rfloor}^{} \frac{1}{(n-M)^2}}\)
Wniosek: ten szereg jest zbieżny dla dowolnych \(\displaystyle{ z \in \CC}\) niebędących liczbami całkowitymi ujemnymi (dla takowych nie jest nawet dobrze określony).
-- 16 paź 2017, o 16:24 --
Oczywiście, \(\displaystyle{ \text{ coś tam zespolonego}}\) zależy od \(\displaystyle{ z}\).