Promień zbieżności - analiza zespolona

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
ms7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 290
Rejestracja: 3 paź 2014, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 179 razy
Pomógł: 5 razy

Promień zbieżności - analiza zespolona

Post autor: ms7 » 16 paź 2017, o 15:55

Proszę o pomoc w zadaniu z analizy zespolonej, konkretnie w znalezieniu promienia zbieżności szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+z)^2}}\)

Zastanawiam się, jak przekształcić(lub co podstawić) żeby miało to ładną postać szeregu potęgowego. Niestety nie mam pomysłu jak to ruszyć. Chciałbym prosić o jakąś wskazówkę.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Promień zbieżności - analiza zespolona

Post autor: Premislav » 16 paź 2017, o 16:00

Mówienie tutaj o promieniu zbieżności może być niefortunne (ale nie musi, nie doliczyłem tego).
Wskazówka:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(z+n)^2} = \sum_{m=1}^{ \infty } \frac{m}{n^{m+1}}(-1)^mz^{m-1}}\)

-- 16 paź 2017, o 16:23 --

Chociaż można też zrobić coś takiego: gdy \(\displaystyle{ |z|<1}\), to
\(\displaystyle{ \left| \frac{1}{(z+n)^2} \right| = \frac{1}{|z+n|^2}\le \frac{1}{(n-|z|)^2}}\)
dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\)
i analogicznie ustalmy dowolne \(\displaystyle{ M>0}\). Wówczas dla liczb zespolonych spełniających \(\displaystyle{ |z|<M \wedge z \notin \ZZ\setminus \ZZ^+}\) możemy rozbić:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+z)^2}= \sum_{n=1}^{\lfloor M \rfloor} \frac{1}{(z+n)^2}+ \sum_{n>\lfloor M \rfloor}^{} \frac{1}{(z+n)^2}}\), gdzie pierwsze to suma skończenie wielu dobrze określonych składników a moduł tego ogona możemy oszacować (dość grubo chyba) z nierówności
\(\displaystyle{ \frac{1}{|z+n|^2} \le \frac{1}{(n-|z|)^2} < \frac{1}{(n-M)^2}}\)
przez \(\displaystyle{ |\text{coś tam zespolonego}|+ \sum_{n>\lfloor M\rfloor}^{} \frac{1}{(n-M)^2}}\)
Wniosek: ten szereg jest zbieżny dla dowolnych \(\displaystyle{ z \in \CC}\) niebędących liczbami całkowitymi ujemnymi (dla takowych nie jest nawet dobrze określony).

-- 16 paź 2017, o 16:24 --

Oczywiście, \(\displaystyle{ \text{ coś tam zespolonego}}\) zależy od \(\displaystyle{ z}\).

ODPOWIEDZ