Zespolona potęga liczby zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
nicrovishion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 18 kwie 2014, o 23:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ~Poznań
Podziękował: 19 razy

Zespolona potęga liczby zespolonej

Post autor: nicrovishion » 15 paź 2017, o 23:03

Do obliczenia jest liczba
\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{1+i}}\)
Nigdzie nie mogę znaleźć informacji jak należy postąpić w przypadku podnoszenia liczby zespolonej do potęgi, która również jest zespolona.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7897
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 243 razy
Pomógł: 3093 razy

Zespolona potęga liczby zespolonej

Post autor: kerajs » 15 paź 2017, o 23:10

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right) ^{1+i}=\left(e ^{i\left( \frac{- \pi }{3}+k2 \pi \right) } \right) ^{1+i} =e ^{i\left( \frac{- \pi }{3}+k2 \pi \right)-\left( \frac{- \pi }{3}+k2 \pi \right)}= \frac{1}{e ^{\frac{- \pi }{3}+k2 \pi } }\left( \frac{1}{2} - \frac{ \sqrt{3} }{2}i \right)}\)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3149
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1072 razy

Re: Zespolona potęga liczby zespolonej

Post autor: Janusz Tracz » 15 paź 2017, o 23:11

Podnoszenie liczb zespolonych do potęgi zespolonej jest niejednoznaczne dlatego wynikiem jest cały zbiór rozwiązań. Skorzystaj z tego że \(\displaystyle{ z_1^{z_2}=e^{z_2 \cdot \ln z_1}}\). O logarytmie zespolonym jest tu

ODPOWIEDZ