Suma pierwiastków

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Ogorek00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 2 sty 2017, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 42 razy

Suma pierwiastków

Post autor: Ogorek00 » 15 paź 2017, o 20:45

Udowodnij dla \(\displaystyle{ x_{1} + x_{2} + ... + x_{n} =1}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sqrt{ x_{i} \cdot (1 -x_{i}) } \le \sqrt{n-1}}\)
Ostatnio zmieniony 15 paź 2017, o 20:48 przez Kaf, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Suma pierwiastków

Post autor: Premislav » 15 paź 2017, o 20:49

Z Cauchy'ego-Schwarza (wystarczy podnieść do kwadratu):
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \sqrt{x_i(1-x_i)}\le \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i }\sqrt{ \sum_{i=1}^{n}(1-x_i) }}\)
BTW \(\displaystyle{ x_i}\) powinny chyba być nieujemne.

ODPOWIEDZ