Sprawdzian z wielomianów...Czy to aby nie przesada?

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Calculus_us
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 13 wrz 2017, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Sprawdzian z wielomianów...Czy to aby nie przesada?

Post autor: Calculus_us » 15 paź 2017, o 00:41

Witam Państwa Sprawdzian przesłał mi kolega (uczeń jednego z mazowieckich LO, poza topową 500 w Polsce), uczęszczający na profil matematyczno-geograficzny.
ZAD 1
Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej x wartość wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=x^5-5x^3+4x}\) jest liczbą podzielną przez 120.
ZAD 2
Rozwiąż równania i nierówności:
a)\(\displaystyle{ w(x)=3x^2 \le \left| x^3-4x\right|}\)
b)\(\displaystyle{ w(x)\left| x^3-3x-2\right| \le x^3-3x-3}\)
c)\(\displaystyle{ w(x)=x^4+2x^3-7x^2-8x+12}\)
d) \(\displaystyle{ w(x)=256x^8-81}\)
ZAD 3
Oblicz współczynniki a i b wielomianu \(\displaystyle{ w(x)=-3x^3+ax^2+bx+2}\) gdzie: \(\displaystyle{ w(-1)= 4}\) i \(\displaystyle{ w(2)=20}\)
ZAD 4
Znajdź wartości a i b, tak aby wielomian \(\displaystyle{ w(x)=2x^3-ax^2-(4b+1)x-6}\) był podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ w(x)=(x+2)(x-3)}\)
ZAD 5
Wykaż, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ w(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ w(1)=w(-1)}\), to \(\displaystyle{ b+d=0}\)
ZAD 6
Dany jest wielomian \(\displaystyle{ w(x)=\left( \left|m \right| -3\right)x^3 +\left(3-m \right)x^2 +4x+16}\)
a)rozłóż wielomian na czynniki gdy \(\displaystyle{ m=-5}\)
b)Wyznacz parametr m, tak aby wielomian w(x) był f. kwadratową.

Na taki oto sprawdzian, a w zasadzie zrobienie go uczniowie mieli około 40 minut. Moim zdaniem gruba przesada. Zachęcam do rozwiązania ich(zadań) i podania w jakim czasie uporaliście się z nimi. W warunkach bezstresowych mi zajęło to ponad 40 minut (nawet całkiem grubo), bo wiedziałem co liczę. "Przeciętny uczeń" moim zdaniem nie ma na to szans.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Sprawdzian z wielomianów...Czy to aby nie przesada?

Post autor: Premislav » 15 paź 2017, o 01:59

Tyłek 1
\(\displaystyle{ x^5-5x^3+4x=x(x^4-5x^2+4)=x(x^4-x^2-4x^2+4)=xleft[ x^2(x^2-1)-4(x^2-1) ight] =(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)}\)
Jest to iloczyn kolejnych \(\displaystyle{ 5}\) liczb całkowitych, więc jest podzielny przez \(\displaystyle{ 5!=120}\)
Tyłek 3
\(\displaystyle{ 4=w(-1)=3+a-b+2=a-b+5\20=w(2)=-24+4a+2b+2=4a+2b-22}\)
Mnożymy stronami pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ 2}\), dodajemy stronami do drugiego,
no i jest \(\displaystyle{ 28=6a-12}\), tj. \(\displaystyle{ a=frac{40}{6}=frac{20}{3}}\),
stąd i z pierwszego równania \(\displaystyle{ b=a+1=frac{23}{3}}\)
Tyłek 4
Konflikt oznaczeń! Układ równań z \(\displaystyle{ w(-2)=0 wedge w(3)=0}\) (zerowanie się reszty) daje nam
\(\displaystyle{ egin{cases}-24-4a+8b=0 \45-9a-12b=0 end{cases}}\),
po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ egin{cases}-6-a+2b=0 \15-3a-4b=0 end{cases}}\),
mnożymy pierwsze równanie stronami przez \(\displaystyle{ 2}\), dodajemy do drugiego i jest
\(\displaystyle{ 5a=3}\), tj. \(\displaystyle{ a=frac 3 5}\), stad
\(\displaystyle{ 2b=a+6=frac{33}{5}}\), czyli \(\displaystyle{ b=frac{33}{10}}\)
Tyłek 5
\(\displaystyle{ w(1)=a+b+c+d+e}\) oraz \(\displaystyle{ w(-1)=a-b+c-d+e}\),
przyrównujemy, wychodzi \(\displaystyle{ b+d=-(b+d)}\), więc \(\displaystyle{ b+d=0}\), c.k.d.
Tyłek 6
a) Dla \(\displaystyle{ m=-5}\) dostajemy \(\displaystyle{ 2x^3+8x^2+4x+16=2x^2(x+4)+4(x+4)=(2x^2+4)(x+4)=2(x^2+2)(x+4)}\)
- zakładam, że chodzi o rozkład nad \(\displaystyle{ RR}\).
b) \(\displaystyle{ m=-3}\)
Dalej mi się nie chce robić, bo zauważyłem błędną treść jednego z podpunktów zadania 2.
Ale zupełnie trywialny to ten sprawdzian może nie jest. Główny problem to rachunki. To pisałem 20 minut (na papierze byłoby szybciej, z 12 myślę), zdałbym, super. Całość jest na 20-25 minut do napisania na papierze, dla szybszych z 15-17, dla wolniejszych 30, wliczając że uczeń lubi sprawdzać czy się nie walnął, to 40-45 minut jak znalazł.

Poza tym nie sugerowałbym się rankingami szkół.

-- 15 paź 2017, o 02:03 --

Tak w ogóle to uważam, że takie zadania są dosyć śmieciowe, zamiast nich na sprawdzian dałbym zadania trochę sprawdzające umiejętności, jak wielomian z matury rozszerzonej 2015, a na zadanie dodatkowe to: 361688.htm

-- 15 paź 2017, o 02:31 --

Aha, jeszcze dodam refleksję co do "przeciętnego ucznia". Otóż sprawdziany nie powinny być tak zrobione, żeby "przeciętny uczeń" się wyrobił, tylko tak, żeby sprawdzać wiedzę i umiejętności. Moim zdaniem pewną bolączką naszej edukacji jest to, że usiłuje się skroić program tak, by przeciętny uczeń sobie spokojnie poradził. To jest błąd, średni uczeń powinien być w stresie. Przeciętność nie jest dobra, nie twórzmy złudzenia, że jest inaczej, powinno się motywować ludzi do wyrwania się z niej. Jak jesteś w klasie z rozszerzoną matmą i jesteś z tej matmy taki sobie (w skali szkolnej, nie porównując do olimpijczyków i innych cudotwórców), to nie jest OK. Przeciętny możesz być z czegoś, z czym nie wiążesz przyszłości. A jak z żadnego przedmiotu szkolnego nie chcesz lub nie możesz być nieprzeciętny (w pozytywnym sensie), to idź na fryzjera czy kucharza, czy coś w tym stylu, a nie tracisz czas.
Zgadzam się, trochę za dużo tu rachunków, ale chyba niestety taka jest specyfika całej tej szkolnej "matematyki".

somerdeld_lo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 2 wrz 2017, o 01:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy

Sprawdzian z wielomianów...Czy to aby nie przesada?

Post autor: somerdeld_lo » 15 paź 2017, o 10:34

Ja się z Twoim zdaniem absolutnie nie zgadzam. Pomijając że nie zrobiłeś drugiego zadania, gdzie rachunków jest sporo.Sprawdzian powinien być zrobiony tak, aby nauczyciel matematyki zrobił go średnio w 8 minut. Tutaj nie widzę na to żadnej szansy. Podobnie jak na to, że 10 % zrobi go na ocenie cel/bdb. Również nie widzę na to szansy. Dodaj do tego warunki stresu, goniący czas... Sprawdzian zdecydowanie za trudny i bezsensowny. Bo jedyne co sprawdza to szybkość rachunkową. A matematyka to nie sprint.
I co do przeciętnego ucznia, miałem na myśli 3-4, sugerujesz, że Ci wszyscy powinni wylecieć? No nie. Z resztą, wielu przeciętniaków (w szkole średniej widziałem), którzy dopiero na studiach rozwijali SKRZYDŁA.I tego typu test nie motywuje w żadnym razie, wręcz demotywuje w przypadku gdy uczeń wie, jak zrobić zadanie a zwyczajnie nie jest w stanie się wyrobić z rachunkami.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Sprawdzian z wielomianów...Czy to aby nie przesada?

Post autor: Premislav » 15 paź 2017, o 12:09

Nie powinni wylecieć, tylko powinni być poddawani presji. W Polsce (nie tylko zresztą) mamy wręcz, można by powiedzieć, kult przeciętności i nie jest to dobry kierunek.
Jedynie moje zastrzeżenia budzi to, że dobry sprawdzian powinien weryfikować faktyczne umiejętności, a nie szybkość liczenia. Z tym się zgadzam.

-- 15 paź 2017, o 12:15 --

Oczywiście to tylko moje zdanie, a nie prawda absolutna. Tutaj można się zetknąć z ciekawym postem idącym w inną stronę (rzecz dotyczy już kolokwiów na studiach, ale wydaje mi się, że to nie jest ważne, chodzi o podejście do w sumie tej samej lub bardzo podobnej kwestii):
255974.htm#p964874-- 15 paź 2017, o 12:20 --A zadania 2. nie zrobiłem, bo co to ma być rozwiązanie równości
\(\displaystyle{ w(x)=256x^8-81}\)
Wygląda na lekkie trololo.

michal2323
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 128
Rejestracja: 12 lut 2017, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 3 razy

Re: Sprawdzian z wielomianów...Czy to aby nie przesada?

Post autor: michal2323 » 15 paź 2017, o 14:10

co do czasochlonnosci sprawdzianow to powiem tak:
W gimnazjum pisalem zwykle 2 sprawdziany dla siebie na maxa i koledze polowe zadan i jeszcze zostawal czas.
W liceum gdzie sprawdziany byly 90minutowe ledwo sie wyrabialem,ale za to glupie bledy nie obnizaly bardzo oceny ze wzgledu na duza liczbe pkt mozliwych do uzyskania.
Ogólnie to,trudno ułożyć sprawdzian by nauczyciel go rozwiazal w 8minut i w dodatku sprawdzal wiekszosc umiejetnosci. W dodatku nauczyciel wcale nie rozwiaze sprawdzianu dużo szybciej niz uczeń,który przygotował sie do niego bardzo dobrze i biegle liczy.

ODPOWIEDZ