funkcja będąca homomorfizmem dla grupy abelowej

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Blomex
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 28 sty 2015, o 20:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Przemyśl
Podziękował: 6 razy

funkcja będąca homomorfizmem dla grupy abelowej

Post autor: Blomex » 14 paź 2017, o 14:20

Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grupą i \(\displaystyle{ g \in G}\) Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ g \rightarrow g^{-1}}\) jest homomorfizmem grupy \(\displaystyle{ G \Leftrightarrow}\) grupa \(\displaystyle{ G}\) jest grupą abelową.

\(\displaystyle{ \varphi(a \cdot b)= \varphi(a) \cdot \varphi(b)}\) ale co z tym dalej zrobić?
Ostatnio zmieniony 14 paź 2017, o 15:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

funkcja będąca homomorfizmem dla grupy abelowej

Post autor: leg14 » 14 paź 2017, o 14:32

\(\displaystyle{ y^{-1} \cdot x^{-1}=f(x \cdot y ) = f(x) \cdot f(y) = x^{-1} \cdot y^{-1}}\)

Blomex
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 28 sty 2015, o 20:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Przemyśl
Podziękował: 6 razy

funkcja będąca homomorfizmem dla grupy abelowej

Post autor: Blomex » 14 paź 2017, o 14:38

Dlaczego \(\displaystyle{ y ^{-1} \cdot x ^{-1}=f(x \cdot y)}\)? bardzo nieintuicyjne dla mnie.
Ostatnio zmieniony 14 paź 2017, o 15:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

funkcja będąca homomorfizmem dla grupy abelowej

Post autor: leg14 » 14 paź 2017, o 14:46

Sprawdz na palcach, ze \(\displaystyle{ (x\cdot y )^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1}}\)

Blomex
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 28 sty 2015, o 20:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Przemyśl
Podziękował: 6 razy

funkcja będąca homomorfizmem dla grupy abelowej

Post autor: Blomex » 14 paź 2017, o 15:35

leg14 pisze: \(\displaystyle{ (x\cdot y )^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1}}\)
Siedzę prawie godzinę i nadal tego nie widzę.
Czy \(\displaystyle{ (x\cdot y )^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1}}\) jest trywialne? jest jakiś dowód tego?
Czy działa to dla każdego działania określonego w danej grupie? Czy jest podobna "własność" dla np 3 elementów z danej grupy? tj na przykład:
\(\displaystyle{ (x\cdot y \cdot z )^{-1}= (a\cdot z)^{-1}=z^{-1}\cdot a^{-1} =z^{-1} \cdot (x\cdot y)^{-1}= z^{-1} \cdot y^{-1} \cdot x^{-1}}\) ?


Czy \(\displaystyle{ \exists ( \cdot) |\left[ (x\cdot y )^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1} \wedge (x\cdot y )^{-1} \neq x^{-1} \cdot y^{-1}\right]}\) ?

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

funkcja będąca homomorfizmem dla grupy abelowej

Post autor: leg14 » 14 paź 2017, o 15:57

Odpowiedz na ostatnei pytanie : zalezy od grupy. Dla grup abelowych zawsze zachodzi \(\displaystyle{ \left[ (x\cdot y )^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1} \wedge (x\cdot y )^{-1} = x^{-1} \cdot y^{-1}\right]}\)
Jesli grupa nie jest abelowa to \(\displaystyle{ \exists ( \cdot) |\left[ (x\cdot y )^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1} \wedge (x\cdot y )^{-1} \neq x^{-1} \cdot y^{-1}\right]}\)
Siedzę prawie godzinę i nadal tego nie widzę.
Czy \(\displaystyle{ (x\cdot y )^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1}}\) jest trywialne? jest jakiś dowód tego?
A nie mozesz po prostu wymnozyc odpowiednich elementow ze soba i zobaczyc, czy wyjdzie Ci element neutralny? (element odwrotny jest zawsze wyznaczony jednoznacznie)
\(\displaystyle{ y^{-1} \cdot x^{-1} \cdit ( x \cdot y ) = y^{-1} \cdot (x ^{-1} \cdot x ) \cdot y = ... = e}\)

Blomex
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 28 sty 2015, o 20:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Przemyśl
Podziękował: 6 razy

Re: funkcja będąca homomorfizmem dla grupy abelowej

Post autor: Blomex » 14 paź 2017, o 16:08

Dzięki! wreszcie rozumiem

ODPOWIEDZ