Liczby porządkowe
: 14 paź 2017, o 02:53
No nic, nie mam ofert z ogłoszenia, na forum NUDA jak dla mnie, a mam potrzebę działać. Podzielę się, przede wszystkim, wspaniałym dowodem, że każda liczba porządkowa jest dobrze uporządkowana przez inkluzję. Na ważniaku, jest ten dowód, ale jest on trochę ciężki do czytania- kiedyś w pewnym momencie miałem zgrzyt. Oto
DOWÓD:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie liczbą porządkową. Oczywiście, inkluzja jest relacją porządku na rodzinie zbiorów \(\displaystyle{ X}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ \subset}\) jest dobrym porządkiem na \(\displaystyle{ X}\). Weźmy dowolny niepusty podzbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\). \(\displaystyle{ A}\) jest niepustą rodziną zbiorów, możemy więc do niej zastosować aksjomat regularności. Czyniąc to, dostaniemy, że istnieje \(\displaystyle{ a\in A}\), taki, że \(\displaystyle{ a \cap A=\left\{ \right\}}\), że ten iloczyn jest zbiorem pustym. Pokażemy, że \(\displaystyle{ a}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ A}\). Pokażemy najpierw, że \(\displaystyle{ a}\) należy do każdego elementu \(\displaystyle{ b\in A}\), który jest różny od \(\displaystyle{ a}\). Weźmy, dowolny taki element \(\displaystyle{ b}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ b \neq a}\), więc z własności liczb porządkowych (\(\displaystyle{ a,b\in X}\)), mamy \(\displaystyle{ a\in b \vee b\in a}\)- jeden z a,b jest elementem drugiego. Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ a\in b}\). No to, przypuśćmy, że \(\displaystyle{ b\in a}\), i doprowadźmy ten przypadek do sprzeczności. W takim przypadku, ponieważ \(\displaystyle{ b\in A}\), to \(\displaystyle{ b\in a \cap A}\)- sprzeczność, bo z aksjomatu regularności, dostaliśmy, że ten zbiór winien być pusty. Wobec tego konieczne jest, aby \(\displaystyle{ a\in b}\). Z dowolności wyboru, elementu \(\displaystyle{ b}\)- \(\displaystyle{ a}\) należy do każdego elementu \(\displaystyle{ b\in A}\), który jest różny od \(\displaystyle{ a}\). I teraz, aby pokazać, że \(\displaystyle{ a}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ A}\) pod względem inkluzji (przypominam \(\displaystyle{ a\in A}\)), to niech \(\displaystyle{ b\in A}\). Jeśli \(\displaystyle{ a=b}\), to \(\displaystyle{ a \subset b}\), a więc \(\displaystyle{ a}\) jest mniejsze od \(\displaystyle{ b}\) pod względem inkluzji; a jeśli \(\displaystyle{ a \neq b}\), to na mocy udowodnionej przed chwilą własności, mamy \(\displaystyle{ a\in b}\). Ponieważ jednak element \(\displaystyle{ b}\), jako element liczby porządkowej \(\displaystyle{ X}\), jest liczbą porządkową, to z definicji liczby porządkowej, mamy, że każdy element \(\displaystyle{ b}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ b}\). Mamy \(\displaystyle{ a\in b}\), więc \(\displaystyle{ a \subset b}\), a więc \(\displaystyle{ a}\) jest mniejsze od \(\displaystyle{ b}\) pod względem inkluzji. Wynika stąd, że \(\displaystyle{ a}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ A}\), pod względem inkluzji. Z dowolności wyboru zbioru \(\displaystyle{ A}\), każdy niepusty podzbiór \(\displaystyle{ X}\) ma element najmniejszy, a więc \(\displaystyle{ X}\) jest liczbą porządkową dobrze uporządkowaną przez inkluzję. \(\displaystyle{ \square}\)
Temat liczb porządkowych, będzie można rozwijać, bo to niejeden jest niesforny dowód na ważniaku, dotyczący liczb porządkowych. Mam te dowody, dokładnie rozpisane na papierze ( dzisiejszego nie miałem, pewnie dlatego go wybrałem, robiłem z głowy ). Co więcej, niedawno, przekonałem się, że definicja liczby porządkowej, to rzeczywiście, formalizacja idei, by liczba porządkowa, była zbiorem wszystkich liczb porządkowych od niej mniejszych, czyli wcześniej utworzonych. Bardzo chętnie się tym podzielę, ale już nie dzisiaj.
DOWÓD:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie liczbą porządkową. Oczywiście, inkluzja jest relacją porządku na rodzinie zbiorów \(\displaystyle{ X}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ \subset}\) jest dobrym porządkiem na \(\displaystyle{ X}\). Weźmy dowolny niepusty podzbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\). \(\displaystyle{ A}\) jest niepustą rodziną zbiorów, możemy więc do niej zastosować aksjomat regularności. Czyniąc to, dostaniemy, że istnieje \(\displaystyle{ a\in A}\), taki, że \(\displaystyle{ a \cap A=\left\{ \right\}}\), że ten iloczyn jest zbiorem pustym. Pokażemy, że \(\displaystyle{ a}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ A}\). Pokażemy najpierw, że \(\displaystyle{ a}\) należy do każdego elementu \(\displaystyle{ b\in A}\), który jest różny od \(\displaystyle{ a}\). Weźmy, dowolny taki element \(\displaystyle{ b}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ b \neq a}\), więc z własności liczb porządkowych (\(\displaystyle{ a,b\in X}\)), mamy \(\displaystyle{ a\in b \vee b\in a}\)- jeden z a,b jest elementem drugiego. Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ a\in b}\). No to, przypuśćmy, że \(\displaystyle{ b\in a}\), i doprowadźmy ten przypadek do sprzeczności. W takim przypadku, ponieważ \(\displaystyle{ b\in A}\), to \(\displaystyle{ b\in a \cap A}\)- sprzeczność, bo z aksjomatu regularności, dostaliśmy, że ten zbiór winien być pusty. Wobec tego konieczne jest, aby \(\displaystyle{ a\in b}\). Z dowolności wyboru, elementu \(\displaystyle{ b}\)- \(\displaystyle{ a}\) należy do każdego elementu \(\displaystyle{ b\in A}\), który jest różny od \(\displaystyle{ a}\). I teraz, aby pokazać, że \(\displaystyle{ a}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ A}\) pod względem inkluzji (przypominam \(\displaystyle{ a\in A}\)), to niech \(\displaystyle{ b\in A}\). Jeśli \(\displaystyle{ a=b}\), to \(\displaystyle{ a \subset b}\), a więc \(\displaystyle{ a}\) jest mniejsze od \(\displaystyle{ b}\) pod względem inkluzji; a jeśli \(\displaystyle{ a \neq b}\), to na mocy udowodnionej przed chwilą własności, mamy \(\displaystyle{ a\in b}\). Ponieważ jednak element \(\displaystyle{ b}\), jako element liczby porządkowej \(\displaystyle{ X}\), jest liczbą porządkową, to z definicji liczby porządkowej, mamy, że każdy element \(\displaystyle{ b}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ b}\). Mamy \(\displaystyle{ a\in b}\), więc \(\displaystyle{ a \subset b}\), a więc \(\displaystyle{ a}\) jest mniejsze od \(\displaystyle{ b}\) pod względem inkluzji. Wynika stąd, że \(\displaystyle{ a}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ A}\), pod względem inkluzji. Z dowolności wyboru zbioru \(\displaystyle{ A}\), każdy niepusty podzbiór \(\displaystyle{ X}\) ma element najmniejszy, a więc \(\displaystyle{ X}\) jest liczbą porządkową dobrze uporządkowaną przez inkluzję. \(\displaystyle{ \square}\)
Temat liczb porządkowych, będzie można rozwijać, bo to niejeden jest niesforny dowód na ważniaku, dotyczący liczb porządkowych. Mam te dowody, dokładnie rozpisane na papierze ( dzisiejszego nie miałem, pewnie dlatego go wybrałem, robiłem z głowy ). Co więcej, niedawno, przekonałem się, że definicja liczby porządkowej, to rzeczywiście, formalizacja idei, by liczba porządkowa, była zbiorem wszystkich liczb porządkowych od niej mniejszych, czyli wcześniej utworzonych. Bardzo chętnie się tym podzielę, ale już nie dzisiaj.