[Teoria liczb]Silnia dzieli sumę funkcji wykładniczych

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

[Teoria liczb]Silnia dzieli sumę funkcji wykładniczych

Post autor: WolfusA » 13 paź 2017, o 19:37

Dana jest liczba naturalna \(\displaystyle{ k \ge 2}\) oraz liczby całkowite \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2},..., a_{n}}\) spełniające warunki \(\displaystyle{ \sum_{l=1}^{n} {l^{i}a_{l}}=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ i=1, 2, ..., k-1}\). Dowieść, że \(\displaystyle{ k!|\sum_{l=1}^{n} {l^{k}a_{l}}}\).
Ostatnio zmieniony 14 paź 2017, o 09:26 przez WolfusA, łącznie zmieniany 1 raz.

pasman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 165
Rejestracja: 26 lut 2016, o 17:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

Re: [Teoria liczb]Silnia dzieli sumę funkcji wykładniczych

Post autor: pasman » 14 paź 2017, o 08:11

co to jest \(\displaystyle{ i}\) ?

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Re: [Teoria liczb]Silnia dzieli sumę funkcji wykładniczych

Post autor: WolfusA » 14 paź 2017, o 09:27

Poprawiłem założenie, tzn. zapis sumy. Za \(\displaystyle{ i}\) możesz podstawić sobie każdą liczbę ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, ..., k-1\right\}}\) do sumy z założenia.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: [Teoria liczb]Silnia dzieli sumę funkcji wykładniczych

Post autor: Premislav » 30 paź 2017, o 04:17

Ukryta treść:    
Zadanie nie było trudne (chyba że coś mi się pomieszało), więc dziwne, że tyle "leżało", może mało ciekawe, a może ludzie zajęci studiami, pracą lub obecnym pierwszym etapem. Niewykluczone też, że źle coś zinterpretowałem.

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Re: [Teoria liczb]Silnia dzieli sumę funkcji wykładniczych

Post autor: WolfusA » 30 paź 2017, o 10:03

Wszystko jest dobrze -- 30 paź 2017, o 19:53 --Chociaż nie musiałeś oddzielnie rozważać \(\displaystyle{ k=2}\) i \(\displaystyle{ k=3}\), bo to też łapie się pod trick wielomianem.

ODPOWIEDZ