Podzielność liczb w funkcji wykładniczej

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
XYZmat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 1 wrz 2017, o 11:39
Płeć: Kobieta

Podzielność liczb w funkcji wykładniczej

Post autor: XYZmat » 12 paź 2017, o 22:22

Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) jedna z liczb \(\displaystyle{ 7^n-1}\) i \(\displaystyle{ 7^n+1}\) jest podzielna przez 3.

Wiem, że można to łatwo udowodnić na podstawie zauważenia, że z trzech kolejnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ 7^n-1}\), \(\displaystyle{ 7^n}\), \(\displaystyle{ 7^n+1}\) liczba \(\displaystyle{ 7^n}\) nigdy nie dzieli się przez 3, więc musi to być któraś z dwóch pozostałych liczb, o których mowa w tezie.

Jednak zaciekawiło mnie dlaczego nie wychodzi mi to innym sposobem i domyślam się, że brakuje tu jakiś warunków, w których odnalezieniu potrzebuję pomocy:

Załóżmy, że \(\displaystyle{ 7^n-1}\) nie jest podzielne przez 3, wtedy:
\(\displaystyle{ 7^n-1 = 3k+1}\) lub \(\displaystyle{ 7^n-1 = 3k+2}\)
Następnie analogicznie dla drugiej liczby...
Dla \(\displaystyle{ 3k+1}\) teza jest prawdziwa, gdyż wtedy \(\displaystyle{ 7^n+1=3k+3}\) czyli jest podzielne, ale już dla \(\displaystyle{ 3k+2}\) mam \(\displaystyle{ 7^n+1 = 3k+4}\) czyli warunek nie jest zgodny z tezą.

Gdzie w takim razie popełniam błąd lub jakie założenia powinnam dodatkowo rozpatrzeć?
Z góry dziękuję za odpowiedź
Ostatnio zmieniony 13 paź 2017, o 17:54 przez XYZmat, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Podzielność liczb w funkcji wykładniczej

Post autor: Premislav » 12 paź 2017, o 22:28

Od razu widać, że nie może być \(\displaystyle{ 7^n-1=3k+2}\) dla \(\displaystyle{ k}\) całkowitego, bo wtedy \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ 7^n}\), co jest nonsensem.
Jak już, to można wykazać, że \(\displaystyle{ 3|7^n-1}\).

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19182
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3243 razy

Re: Podzielność liczb w funkcji wykładniczej

Post autor: a4karo » 12 paź 2017, o 22:33

A \(\displaystyle{ 7^n-1=(7-1)(7^{n-1}+\dots+ 1)}\)
Ostatnio zmieniony 12 paź 2017, o 23:21 przez a4karo, łącznie zmieniany 1 raz.

XYZmat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 1 wrz 2017, o 11:39
Płeć: Kobieta

Re: Podzielność liczb w funkcji wykładniczej

Post autor: XYZmat » 12 paź 2017, o 22:53

Premislav pisze:Od razu widać, że nie może być \(\displaystyle{ 7^n-1=3k+2}\) dla \(\displaystyle{ k}\) całkowitego, bo wtedy \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ 7^n}\), co jest nonsensem.
Jak już, to można wykazać, że \(\displaystyle{ 3|7^n-1}\).
Faktycznie, nie pomyślałam o tym, dziękuję Ci bardzo za spostrzeżenie.

W takim razie czy orientuje się ktoś czy na maturze dostałabym maksymalną ilość punktów za rozpisanie warunków w postaci 3k itd., ale w przypadkach takich jakie zauważył Premislav podopisywałabym, że nie muszę ich rozpatrzeć ze względu na sprzeczność z \(\displaystyle{ 7^n}\) czy też przyrównywanie tych wyrażeń do 3k jest zbyt "niebezpieczne"?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19182
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3243 razy

Podzielność liczb w funkcji wykładniczej

Post autor: a4karo » 12 paź 2017, o 23:27

XYZmat pisze:

Dla \(\displaystyle{ 3k+1}\) teza jest prawdziwa, gdyż wtedy \(\displaystyle{ 7^n+1=3k+3}\) czyli jest podzielne, ale już dla \(\displaystyle{ 3k+2}\) mam \(\displaystyle{ 7^n-1 = 3k+4}\) czyli warunek nie jest zgodny z tezą.

Gdzie w takim razie popełniam błąd lub jakie założenia powinnam dodatkowo rozpatrzeć?
Z góry dziękuję za odpowiedź
Skąd Ci się wzięło \(\displaystyle{ 3k+4}\)?

XYZmat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 142
Rejestracja: 1 wrz 2017, o 11:39
Płeć: Kobieta

Podzielność liczb w funkcji wykładniczej

Post autor: XYZmat » 12 paź 2017, o 23:56

a4karo pisze:
XYZmat pisze:

Dla \(\displaystyle{ 3k+1}\) teza jest prawdziwa, gdyż wtedy \(\displaystyle{ 7^n+1=3k+3}\) czyli jest podzielne, ale już dla \(\displaystyle{ 3k+2}\) mam \(\displaystyle{ 7^n-1 = 3k+4}\) czyli warunek nie jest zgodny z tezą.

Gdzie w takim razie popełniam błąd lub jakie założenia powinnam dodatkowo rozpatrzeć?
Z góry dziękuję za odpowiedź
Skąd Ci się wzięło \(\displaystyle{ 3k+4}\)?
Liczba \(\displaystyle{ 7^n+1}\) jest o 2 większa niż \(\displaystyle{ 7^n-1}\) stąd jeśli \(\displaystyle{ 7^n-1=3k+2}\) to \(\displaystyle{ 7^n+1=(3k+2)+2=3k+4}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19182
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3243 razy

Re: Podzielność liczb w funkcji wykładniczej

Post autor: a4karo » 13 paź 2017, o 06:09

No tak. Zastosowałes ten sam schemat, co w poprzednim przypadku. Ale gdybyś dodał jeden zamiast dwóch....

DamianSc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 27 sty 2020, o 11:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 23
Podziękował: 4 razy

Re: Podzielność liczb w funkcji wykładniczej

Post autor: DamianSc » 11 lut 2020, o 14:55

a4karo pisze:
12 paź 2017, o 22:33
A \(\displaystyle{ 7^n-1=(7-1)(7^{n-1}+\dots+ 1)}\)
Przepraszam za odkopywanie, może głupio, ale muszę się upewnić - zacytowane rozwiązanie jest w 100% dobre i nie można mu nic zarzucić, prawda? Przygotowuję się do matury i sam rozwiązałem to w ten sposób, nawet do głowy mi nie przyszło (choć to może niedobrze) żeby rozwiązywać to trzema kolejnymi liczbami naturalnymi i zdziwiło mnie takie wytłumaczenie w odpowiedziach, bez zająknięcia o tym, moim zdaniem, znacznie prostszym rozwiązaniu.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19182
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3243 razy

Re: Podzielność liczb w funkcji wykładniczej

Post autor: a4karo » 11 lut 2020, o 15:11

Twój sposób z trzema kolejnymi liczbami jest poprawny i prosty. Sposób z moim wzorem jest o tyle lepszy, że ucina wszelkie dywagacje na temat która z liczb jest podzielna przez 3. Zawsze jest to ta mniejsza.

W twoim rozumowaniu nie popełniasz błędu, ale nie daje ono wystarczających przesłanek do udowodnienia tezy.

ODPOWIEDZ