Rozwiąż równanie trygonometryczne

[lukasz_xyz]

\(\displaystyle{ \tg x + \tg 2x = \tg 3x}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{\sin 3x}{\cos 3x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin x \cdot \cos 2x+\sin 2x \cdot \cos x}{\cos x \cdot \cos 2x} - \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin x \cdot \cos 2x+\sin 2x \cdot \cos x-3\sin x(\cos x\cdot\cos 2x)}{\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x} = 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin x \cdot \cos 2x + \sin 2x \cdot \cos x - \sin 3x \cdot \cos x \cdot \cos 2x}{\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x}}\)

Może mi ktoś pomóc i powiedzieć co mam zrobić dalej lub co zrobiłem źle? Patrzę na to równanie i nie wiem co dalej .

[Premislav]

Ja bym to w ogóle nieco inaczej robił. Najpierw dziedzina, ale to pomijam, wiadomo, gdzie tangens jest określony (tj. powinieneś wiedzieć).
\(\displaystyle{ \tg (2x)= \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x-\sin^2 x}= \frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}\\
\tg(3x)= \frac{\sin(3x)}{\cos(3x)}= \frac{\sin(x+2x) }{\cos(x+2x)}= \frac{\sin x\cos(2x)+\cos x\sin (2x)}{\cos x\cos 2x-\sin x\sin 2x} =\\= \frac{\sin x(\cos^2 x-\sin^2 x)+2\cos^2 x\sin x}{\cos x(\cos^2 x-\sin^2 x)-2\sin^2 x\cos x}= \frac{3\tg x-\tg^3 x}{1-3\tg^2 x}}\)
więc dostajesz do rozwiązania równanie
\(\displaystyle{ \tg x+ \frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}= \frac{3\tg x-\tg^3 x}{1-3\tg^2 x}}\)
Mnożysz przez mianowniki, podstawiasz \(\displaystyle{ u=\tg x}\) i masz do rozwiązania równanie wielomianowe.

-- 12 paź 2017, o 19:48 --

Natomiast w Twoim podejściu nie podoba mi się to przejście:

\(\displaystyle{ \frac{\sin x \cdot \cos 2x+\sin 2x \cdot \cos x}{\cos x \cdot \cos 2x} - \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = 0\\ \\\frac{\sin x \cdot \cos 2x+\sin 2x \cdot \cos x-3\sin x(\cos x-\cos 2x)}{\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x} = 0}\)

Mógłbyś wytłumaczyć, co tu się stało? moim zdaniem niepoprawnie sprowadziłeś do wspólnego mianownika.-- 12 paź 2017, o 19:52 --Jednakowoż zorientowałem się, że można znacznie prościej: wyprowadź sobie (to proste, wsk. wzór na sinus sumy i cosinus sumy) wzór:
\(\displaystyle{ \tg(a+b)= \frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a \tg b}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \tg(3x)=\tg(x+2x)= \frac{\tg x+\tg (2x)}{1-\tg x \tg(2x)}}\)
Dalej chyba wiadomo. Jak nie, to pisz.

[lukasz_xyz]

Natomiast w Twoim podejściu nie podoba mi się to przejście:

\(\displaystyle{ \frac{\sin x \cdot \cos 2x+\sin 2x \cdot \cos x}{\cos x \cdot \cos 2x} - \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = 0\\ \\\frac{\sin x \cdot \cos 2x+\sin 2x \cdot \cos x-3\sin x(\cos x-\cos 2x)}{\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 3x} = 0}\)

Mógłbyś wytłumaczyć, co tu się stało? moim zdaniem niepoprawnie sprowadziłeś do wspólnego mianownika.

Poprawiłem w pierwszym poście, mam nadzieję, że teraz jest dobrze. Sporo siedzę przy tej trygonometrii bo mam spore braki jak widać a wchodzimy w liczby zespolone oraz funkcje arcsin etc.

Odnośnie wzoru na sinus sumy i cosinus sumy to dopiero zacznę to analizować.

[janusz47]

Drugi sposób (w oparciu o znajomość wzorów na tangens podwojonego i potrojonego argumentu)

\(\displaystyle{ \tg(x) +\frac{2\tg(x)}{1- \tg^2(x)} = \frac{3\tg(x) -\tg^3(x)}{1 -3\tg^2(x)}}\)

\(\displaystyle{ \tg(x)\neq \pm 1, \wedge tg(x)\neq \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.}\)

..............................................................................................................................
\(\displaystyle{ 2\tg(x)[ \tg^4(x) -3\tg^2(x) +1] =0]}\) (proszę sprawdzić).

\(\displaystyle{ \tg(x) = 0,}\)

\(\displaystyle{ \tg(x) =\pm \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}},}\)

\(\displaystyle{ \tg(x) = \pm \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}.}\)

\(\displaystyle{ x =....}\)