Matematyka.pl

Skoro to jest sima pierwiastków.
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}= \frac{-b}{a}}\)
to dlaczego suma odwrotności pierwiastków wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x_{1}}+ \frac{1}{x_{2}}= \frac{-b}{c}}\)
zamiast
\(\displaystyle{ \frac{1}{x_{1}}+ \frac{1}{x_{2}}= \frac{a}{-b}}\)
?

Bo suma odwrotności to nie odwrotność sumy.

Jest:

• \(\displaystyle{ \frac{a}{-b}=\frac{1}{x_1+x_2}}\)

Dziękuje

Dlatego, że:
\(\displaystyle{ \boxed{\frac{1}{x_1+x_2}\neq\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}}\).

\(\displaystyle{ \frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2}= \frac{-b}{c}}\), wynika z tego, że jeśli \(\displaystyle{ x_k\neq 0}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ ax^2+bx+c=0}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{x_k}}\) jest pierwiastkiem \(\displaystyle{ cx^2+bx+a=0}\), bo:

\(\displaystyle{ cx^2+bx+a=x^2(a\frac{1}{x}^2+b\frac{1}{x}+c)}\), co po podstawieniu za \(\displaystyle{ x}\) \(\displaystyle{ \frac{1}{x_k}}\) wyniesie \(\displaystyle{ \boxed{\frac{1}{x_k}^2(ax_k^2+bx_k+c)=\frac{1}{x_k}^2\cdot 0 =0 }}\)