Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
mat06
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 12 wrz 2013, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 14 razy

Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego

Post autor: mat06 » 11 paź 2017, o 12:05

Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego:

\(\displaystyle{ (t+ \sqrt{ x^{2}-tx }) \cdot x'=x \\ x(0.5)=1}\)

Z góry dzięki za pomoc.
Ostatnio zmieniony 11 paź 2017, o 20:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7595
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 227 razy
Pomógł: 3002 razy

Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego

Post autor: kerajs » 11 paź 2017, o 12:19

\(\displaystyle{ x'= \frac{x}{t+ \sqrt{x^2-xt} }\\ x'= \frac{ \frac{x}{t} }{1+ \sqrt{(\frac{x}{t})^2-\frac{x}{t}} }\\ x=ut \Rightarrow x'=u't+u \\ u't+u= \frac{u}{1+ \sqrt{u^2-u} }}\)
A to jest równaniem typu zmienne rozdzielone.

mat06
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 12 wrz 2013, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 14 razy

Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego

Post autor: mat06 » 11 paź 2017, o 14:51

A mogę prosić o dalsze przedstawienie rozwiązania? Otrzymałem całki:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1+ \sqrt{u^2-u} }{-u \sqrt{u^2-u} } du= \int_{}^{} \frac{dt}{t}}\)

Ale mam problem z rozwiązaniem tej pierwszej.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7595
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 227 razy
Pomógł: 3002 razy

Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego

Post autor: kerajs » 11 paź 2017, o 16:25

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1+ \sqrt{u^2-u} }{-u \sqrt{u^2-u} } du=\int_{}^{} \frac{-1 }{u \sqrt{u^2-u} } du-\int_{}^{} \frac{1 }{u } du=....}\)
Pierwszą całkę upraszcza podstawienie \(\displaystyle{ u= \frac{1}{k}}\).


EDIT:
Problematyczna całka:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{-1 }{u \sqrt{u^2-u} } du=\left[ u= \frac{1}{k} \Rightarrow \mbox{d}u= \frac{-1}{k^2} \mbox{d}k \right]= \int_{}^{} \frac{-1}{ \frac{1}{k} \sqrt{(\frac{1}{k})^2-\frac{1}{k}} } \frac{-1}{k^2} \mbox{d}k =\\= \int_{}^{} \frac{ \mbox{d}k }{ \sqrt{1-k} }=2 \sqrt{1-k}+C=2 \sqrt{1- \frac{1}{u} } +C}\)

Resztę pewnie już potrafisz policzyć.
Ostatnio zmieniony 11 paź 2017, o 19:54 przez kerajs, łącznie zmieniany 1 raz.

mat06
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 12 wrz 2013, o 17:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 14 razy

Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego

Post autor: mat06 » 11 paź 2017, o 19:11

Niestety dalej nie mogę sobie poradzić z tą całką. Proszę o przedstawienie rozwiązania.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6726
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1217 razy

Re: Wyznacz rozwiązanie problemu początkowego

Post autor: mariuszm » 10 lis 2017, o 18:27

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1+ \sqrt{x^2-x} }{-x \sqrt{x^2-x} } dx\\ \sqrt{x^2-x}=t-x\\ x^2-x=t^2-2tx+x^2\\ -x=t^2-2tx\\ 2tx-x=t^2\\ x\left( 2t-1\right)=t^2\\ x=\frac{t^2}{2t-1}\\ t-x=\frac{2t^2-t-t^2}{2t-1}=\frac{t^2-t}{2t-1} \\ 1+\sqrt{x^2-x}=\frac{t^2+t-1}{2t-1}\\ \mbox{d}x =\frac{2t\left( 2t-1\right)-2t^2 }{\left( 2t-1\right)^2 } \mbox{d}t\\ \mbox{d}x =\frac{2t^2-2t}{\left( 2t-1\right)^2}\mbox{d}t\\ -\int{\frac{t^2+t-1}{2t-1} \cdot \frac{2t-1}{t^2} \cdot \frac{2t-1}{t^2-t} \cdot \frac{2\left(t^2-t\right)}{\left( 2t-1\right)^2}\mbox{d}t}\\ -2\int{\frac{t^2-t+2t-1}{t^2\left( 2t-1\right) } \mbox{d}t}\\ -2\int{\frac{\left( 2t-1\right)\left( t+1\right)-t^2 }{t^2\left( 2t-1\right)} \mbox{d}t}\\ -2\int{\frac{t+1}{t^2} \mbox{d}t}+\int{\frac{2}{2t-1} \mbox{d}t}\\ -2\ln{\left| t\right| }+\frac{2}{t}+\ln{\left| 2t-1\right| }+C\\ -2\ln{\left| x+\sqrt{x^2-x}\right| }+\frac{2x-2\sqrt{x^2-x}}{x^2-x^2+x}+\ln{\left| 2x-1+2 \sqrt{x^2-x} \right| }+C_{1}\\ -\frac{2\sqrt{x^2-x}}{x}-2\ln{\left| x+\sqrt{x^2-x}\right| }+\ln{\left| 2x-1+2 \sqrt{x^2-x} \right| }+C\\}\)

ODPOWIEDZ