wartości własne i wektory własne raz jeszcze

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
matylda05
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 31 sie 2007, o 09:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gorlice

wartości własne i wektory własne raz jeszcze

Post autor: matylda05 » 22 wrz 2007, o 14:12

czy ktoś na podanym przykładzie może mi wyznaczyć wartości własne i odpowiadające im wektory własne podanych macierzy

0 0 1
A 0 1 0
1 0 0

2 -1 2
B 5 -3 -3
-1 0 -2

bo w pierwszym przykładzie wychodzi mi ω(λ)= -λ�(1-λ) ale to chyba źle

bardzo proszę o info gdzie popełniam błąd
pozdrawiam
matylda
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

wartości własne i wektory własne raz jeszcze

Post autor: scyth » 24 wrz 2007, o 09:33

OK, no to zrobimy te zadania elementarnie
pierwszy przykład:
\(\displaystyle{ A=
ft(\begin{array}{c c c}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)}\)

Najpierw wartości własne:
\(\displaystyle{ det(A-I\lambda)=det\
ft(\left(\begin{array}{c c c}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{array}\right) -
ft(\begin{array}{c c c}
\lambda & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & \lambda \\
\end{array}\right)\right)=
\begin{array}{|c c c|}
-\lambda & 0 & 1 \\
0 & 1-\lambda & 0 \\
1 & 0 & -\lambda \\
\end{array} = \\ =
-\lambda \begin{array}{|c c|}
1-\lambda & 0 \\
0 & -\lambda
\end{cases} + \begin{array}{|c c|}
0 & 1-\lambda \\
1 & 0
\end{cases} = \lambda^2(1-\lambda)-(1-\lambda)=(1-\lambda)(\lambda^2-1)=(1-\lambda)^2(\lambda+1)}\)

Zatem mamy wartości własne tej macierzy - jest to \(\displaystyle{ \lambda_1=\lambda_2=1, \ \lambda_3=-1}\)

Aby znaleźć wektor własny rozwiążemy równanie:
\(\displaystyle{ (A-I\lambda)\vec{x}=0}\)

czyli dla \(\displaystyle{ \lambda_1=\lambda_2}\):
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c c c}
-1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & -1 \\
\end{array}\right)
ft(\begin{array}{c}
a \\ b \\ c \\ \end{array}\right)=
ft(\begin{array}{c}
c-a \\ 0 \\ a-c \\
\end{array}\right) \\
\vec{x_1}=\vec{x_2}=\left(\begin{array}{c}
1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}\right)}\)


dla \(\displaystyle{ \lambda_3}\):
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c c c}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
\end{array}\right)
ft(\begin{array}{c}
a \\ b \\ c \\ \end{array}\right)=
ft(\begin{array}{c}
a+c \\ 2b \\ a+c \\
\end{array}\right) \\
\vec{x_3}=\left(\begin{array}{c}
1 \\ 0 \\ -1 \\ \end{array}\right)}\)


Dla macierzy \(\displaystyle{ B=\left(\begin{array}{c c c}
2 & -1 & 2 \\
5 & -3 & -3 \\
-1 & 0 & -2 \\
\end{array}\right)}\)

podam Ci wyniki poszczególnych kroków.

1. \(\displaystyle{ det(B-I\lambda)=-\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda-7}\)
Hmm... nieciekawe równanie - na pewno dobrą podałaś macierz?

ODPOWIEDZ