Matematyka.pl

Na płaszczyźnie ustalono punkt \(\displaystyle{ S}\). Obrazem dowolnego punktu \(\displaystyle{ A}\) płaszczyzny w przekształceniu \(\displaystyle{ P_{s}}\) jest punkt będący środkiem odcinka \(\displaystyle{ AS.}\)
a)Pokaż, na przykładzie, że \(\displaystyle{ P_{s}}\) nie jest izometrią.
b)Uzasadnij, że obrazem dowolnego odcinka \(\displaystyle{ AB}\) w przekształceniu \(\displaystyle{ P_{s} j}\)est odcinek \(\displaystyle{ A'B'}\) taki, że \(\displaystyle{ |A'B'|= \frac{1}{2}|AB|}\)

a) Zrobiłam tak. Ustalam punkt \(\displaystyle{ S(1,1)}\) i punkt \(\displaystyle{ A(5,3)}\). Zatem \(\displaystyle{ P_{s}(A)=\left( \frac{1+5}{2},\frac{1+3}{2}\right)=( 3,2)=K}\)
Izometria zachowuje odległości, czyli powinno zachodzić \(\displaystyle{ |AS|=|KS|}\)
Czy to jest poprawne?

A jak uzasadnić drugi podpunkt ?

Wsk. Dowolny punkt odcinka \(\displaystyle{ AB}\) można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ (1-t)A+tB}\), gdzie \(\displaystyle{ 0\leq t\leq 1}\)

Co to jest \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)? Współrzędne punktów? Nie mam pojęcia co zrobić z tą wskazówką.

\(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to są punkty,o których piszesz w pkt. 2

Wsk. 2 \(\displaystyle{ P_S(A)=\frac{A+S}{2}}\)

\(\displaystyle{ A'B'=(1-t)A'+tB'=\left(1-t\right) \frac{A+S}{2}+t \frac{B+S}{2}}\) tak?

Nie. \(\displaystyle{ A'B'}\) jest obrazem odcinka \(\displaystyle{ AB}\). To, co masz pokazać, to to, że punkt z odcinka \(\displaystyle{ AB}\) który jest postaci \(\displaystyle{ (1-t)A+tB}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ A'B'}\), czyli jest postaci \(\displaystyle{ (1-s)A'+sB'}\) dla pewnego \(\displaystyle{ 0\leq s\leq 1}\).

Wskazówka: zacznij od \(\displaystyle{ P_S((1-t)A+tB)=}\)

Szczerze nie wiem dalej jak to rozpisać. Skoro przekształcenie \(\displaystyle{ P_{S}}\) jest takie, że obrazem punktu \(\displaystyle{ A}\) w tym przekształceniu jest środek odcinka \(\displaystyle{ AS}\), to jak mając punkt\(\displaystyle{ (1-t)A+tB}\) wyznaczyć jego przekształcenie\(\displaystyle{ P_{S}.}\)

Przeciez podalem Ci wzór na \(\displaystyle{ P_S}\)

\(\displaystyle{ P_S((1-t)A+tB)= \frac{(1-t)A+tB+S}{2}}\)
I teraz to już nie wiem.

Spróbuj to przekształcić. Jeżeli nie masz pomysłu to sposobu sobie wyobrazić jaka relacja łączy \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ s}\). (rysunek może być pomocny)