Ojętość bryły obrotowej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
intel86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 20 sty 2006, o 08:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziądz
Podziękował: 42 razy

Ojętość bryły obrotowej

Post autor: intel86 » 22 wrz 2007, o 09:10

Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót następującej figury zawartej między podanymi krzywymi wokół osi OX:

1.\(\displaystyle{ y=sinx, x=0, x=\pi}\)
2.\(\displaystyle{ y=lnx, y=0, x=e}\)

Za pomoc z góry dzięki
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Ojętość bryły obrotowej

Post autor: Amon-Ra » 22 wrz 2007, o 11:17

Dla brył obrotowych, zawsze \(\displaystyle{ V=\pi t_{x_1}^{x_2}f^2 (x)dx}\).

Przykładowo, dla pierwszego podpunktu \(\displaystyle{ V=\pi t_{0}^{\pi}\sin ^2 x dx}\).

intel86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 20 sty 2006, o 08:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziądz
Podziękował: 42 razy

Ojętość bryły obrotowej

Post autor: intel86 » 22 wrz 2007, o 13:23

Pierwsze luzik. Wyszło mi \(\displaystyle{ 0,5\pi^{2}}\). Powinno być dobrze. Nie wiem jak drugie ugryźć. Coś czuje że jest jakiś wzór na tą pochodną...

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Ojętość bryły obrotowej

Post autor: Amon-Ra » 22 wrz 2007, o 13:29

intel86 pisze:Nie wiem jak drugie ugryźć.
Przez części...

intel86
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 20 sty 2006, o 08:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziądz
Podziękował: 42 razy

Ojętość bryły obrotowej

Post autor: intel86 » 22 wrz 2007, o 13:37

Przez częsci to chyba tak:
\(\displaystyle{ \int lnx*lnx \ dx=(xlnx-x)lnx-\int\frac{1}{x}(xlnx-x) dx=(xlnx-x)lnx-(xlnx-x)+x}\)
Jeżeli dobrze robie w co wątpię... to jak dalej to trzeba rozwiązać?

Awatar użytkownika
Jestemfajny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 lis 2006, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: AGH
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 36 razy

Ojętość bryły obrotowej

Post autor: Jestemfajny » 22 wrz 2007, o 17:16

Chyba nie bardzo...:
\(\displaystyle{ \int ln^{2}x \ dx=..\\
u=ln^{2}x \ \ \ dv=1 \\
du=\frac{2lnx}{x} \ \ v=x \\
..=ln^{2}xx-\int 2lnx \ dx=...\\
u=lnx \ \ dv=2 \\
du=\frac{1}{x} \ \ v=2x \\
..=xln^{2}x-(2xlnx-\int 2 dx)=xln^{2}x-2xlnx+2x+C}\)

zauważ że lnx wartośc 0 przyjmuje dla x=1 więc granice całkowania są równe x1=1, x2=e
więc liczymy:
\(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{e}ln^{2}x \ dx=|xln^{2}x-2xlnx+2x|_{1}^{e}\\
=e(ln^{2}e-2lne+2)-(ln^{2}1-2ln1+2)=e(1-2+2)-(0-0+2)=e-2}\)

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Ojętość bryły obrotowej

Post autor: Lorek » 22 wrz 2007, o 18:28

intel86 pisze:Przez częsci to chyba tak:
Jestemfajny pisze:Chyba nie bardzo...:
Jestemfajny, a czy nie otrzymaliście tak czasem tych samych wyników?

Awatar użytkownika
Jestemfajny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 187
Rejestracja: 22 lis 2006, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: AGH
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 36 razy

Ojętość bryły obrotowej

Post autor: Jestemfajny » 22 wrz 2007, o 19:38

Wsumie...
No to mój błąd:D:D
intel86 pisze: Jeżeli dobrze robie w co wątpię...
Dobrze, wybacz:)

ODPOWIEDZ