Matematyka.pl

Witam, mam problem z tym residuum, te normalne z liczbami umiem rozwiązywać jednak tutaj napotykam problem
\(\displaystyle{ res _{z _{0}= 2i } = \frac{1}{z ^{2}(z ^{2} +4)}}\)
Liczba \(\displaystyle{ 2i}\) jest biegunem 2-krotnym?
Jeżeli zrobię \(\displaystyle{ z ^{2} +4 = 0}\) to wychodzi mi \(\displaystyle{ z ^{2} = -4}\). Nie mam pomysłu...
Byłby mi ktoś w stanie rozwiązać to zadanie?

Liczba \(\displaystyle{ 2i}\) jest biegunem 2-krotnym?

Nie.

Byłby mi ktoś w stanie rozwiązać to zadanie?

Jeszcze jak (pominę to, że Twój zapis jest nie najlepszy, że tak sobie pozwolę na zgrabny eufemizm).
\(\displaystyle{ \frac{1}{z^2(z^2+4)} = \frac{1}{4} \left( \frac{z^2+4-z^2}{z^2(z^2+4)}\right) =\\= \frac{1}{4z^2}- \frac{1}{4z^2+16}= \frac{1}{4z^2}-\frac 1 {16i}\cdot \frac{z+2i-(z-2i)}{(z+2i)(z-2i)}=\\= \frac{1}{4z^2}- \frac{1}{16i} \cdot \frac{1}{z-2i} + \frac{1}{16i} \cdot \frac{1}{4i+z-2i}=\\=\frac{1}{4z^2}-\frac{1}{16i}\cdot \frac{1}{z-2i}-\frac{1}{64}\cdot\frac{1}{1+ \frac{z-2i}{4i} }=\frac{1}{4z^2}-\frac{1}{16i}\cdot \frac{1}{z-2i}-\frac 1 {64} \sum_{n=0}^{\infty }\left( -1\right)^n\left( \frac{z-2i}{4i}\right)^n}\)
- ostatnia równość ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego. A to \(\displaystyle{ \frac{1}{4z^2}}\) to pies, nie ma bieguna (ani osobliwości nieusuwalnej) w \(\displaystyle{ z_0=2i}\), więc jego wkład w residuum jest zerowy i nawet nie trzeba tego rozwijać w Laurenta (i tak za dużo rozwijałem, tego ostatniego ułamka nie trzeba było rozwijać, bo jak funkcja wymierna nie ma osobliwości w jakimś punkcie, to się rozwija w szereg Taylora o środku w tym punkcie i do widzenia).
Wynik: \(\displaystyle{ -\frac{1}{16i}=\frac{i}{16}}\)

Inne rozwiązanie: w \(\displaystyle{ z_0=2i}\) mamy biegun jednokrotny,
korzystamy ze wzorku z tego wątku Dowód twierdzenia o residuuach (jest także na wiki).
\(\displaystyle{ \mathrm{res}_{z_0=2i} \frac{1}{z^2(z^2+4)}=\frac{1}{(1-1)!} \lim_{z \to 2i }(z-2i) \frac{1}{z^2(z^2+4)}=\\= \lim_{z \to 2i} \frac{1}{z^2(z+2i)} =- \frac{1}{16i}= \frac{i}{16}}\)

Chodziło mi raczej o takie rozwiązanie jak to drugie )
Kombinowałem coś żeby do tego nawiasu wstawić to \(\displaystyle{ 2i}\) tyle że wzory skróconego mnożenia musiałem jakieś robić i się nie chciało skracać
Tak czy inaczej jesteś wielki, dzięki !!
Pochwała przyznana , dałbym więcej ale nie można