Matematyka.pl

Lemat. Jeżeli pewien punkt \(\displaystyle{ D}\) leży wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) utworzonego przez trzy inne punkty to istnieje trójkąt rozwartokątny utworzony przez pewne trzy z tych czterech punktów.
Dowód. Przynajmniej jeden z kątów \(\displaystyle{ ADB}\), \(\displaystyle{ BDC}\), \(\displaystyle{ CDA}\) jest rozwarty (każdy z nich jest mniejszy niż \(\displaystyle{ 180}\) stopni, a gdyby wszystkie były równe co najwyżej \(\displaystyle{ 90}\) to nie zsumują się do kąta pełnego. Dlatego przynajmniej jeden z trójkątów \(\displaystyle{ ADB}\), \(\displaystyle{ BDC}\), \(\displaystyle{ CDA}\) jest rozwartokątny.

Rozwiązanie:
Weźmy pewne cztery z tych pięciu punktów. Tworzą one czworokąt (co łatwo pokazać). Jeżeli jest on wklęsły, to pewne trzy z jego wierzchołków tworzą trójkąt w którym zawarty jest czwarty z jego wierzchołków. Na mocy lematu koniec.

Załóżmy teraz, że ten czworokąt jest wypukły.
Jeżeli piąty punkt leży wewnątrz tego czworokąta to leży wewnątrz pewnego trójkąta utworzonego przez jego przekątne - koniec z lematu. Nie może leżeć na bokach tego czworokąta, bo żadne trzy punkty nie leżą na jednej prostej.
Dalej załóżmy, że piąty punkt leży na zewnątrz tego czworokąta.
Jeżeli pewien kąt tego czworokąta jest rozwarty to wraz z ramionami i jedną przekątną tworzą trójkąt rozwartokątny. W przeciwnym przypadku każdy z kątów tego czworokąta jest nie większy niż \(\displaystyle{ 90}\) st, a skoro suma kątów czworokąta to \(\displaystyle{ 360}\) st. to każdy z nich jest kątem prostym. Łatwo spostrzec, że piąty punkt tworzy z końcami pewnego boku tego prostokąta trójkąt rozwartokątny.

Korzystamy z lematu z pierwszego rozwiązania.
Weźmy otoczkę wypukłą tych pięciu punktów.
Jeżeli składa się ona z trzech punktów to pewien punkt jest wewnątrz niej i na mocy lematu koniec.
Jeżeli składa się ona z czterech punktów to pewien punkt jest wewnątrz niej i wewnątrz pewnego trójkąta utworzonego przez przekątne czworokąta będącego tą otoczką, z lematu koniec.
Jeżeli składa się ona z pięciu punktów, to skoro suma kątów pięciokąta który tworzy to \(\displaystyle{ 540}\) stopni to przynajmniej jeden z kątów tego pięciokąta jest rozwarty. Wtedy boki tego kąta wraz z przekątną tworzą trójkąt rozwartokątny, cnd.

Można wykorzystać interpretację kombinatoryczną przy pomocy kombinacji z powtórzeniami (\(\displaystyle{ 37}\)-kombinacje z powtórzeniami ze zbioru \(\displaystyle{ 3}\)-elementowego).

Zadanie jest podobne (ale jednak trochę prostsze) do zadania 48 OM-I-6: . Można rozwiązać analogicznie do pierwszego sposobu pod tym linkiem.