Matematyka.pl

Oblicz granicę ciągu \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{1+2+3+...+2n}{ n^{2}+1 }}\)

Korzystamy z wzoru na sumę \(\displaystyle{ n}\) wyrazów początkowych \(\displaystyle{ S_{n}= \frac{ a_{1}+ a_{n} }{2} \cdot n}\)

Po podstawieniu otrzymujemy \(\displaystyle{ S_{n}= \frac{1+2n}{2} \cdot {\red {\ 2n }}\)

Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego ilość wyrazów wynosi \(\displaystyle{ {\red {\ 2n }}\)


Temat napisałem w dziale ciągów, ponieważ pytanie bardziej dotyczy wzoru na sumę wyrazów ciągu niż samej granicy ciągu.

To zastanów się jak jest dla ustalonego przypadku np dla \(\displaystyle{ n = 3 \ : \ 1+2+3+4+5+6}\)
Możesz dojść do tego wychodząc też od wzoru ogólnego :
\(\displaystyle{ a_k = a_1 + (k-1)r}\)
\(\displaystyle{ 2n = 1 + (k-1) \cdot 1 \Rightarrow k = 2n}\)

Dzięki za odpowiedź. Czy za każdym razem trzeba sprawdzać liczbę wyrazów ciągu poprzez np. takie równanie \(\displaystyle{ 2n = 1 + (k-1) \cdot 1 \Rightarrow k = 2n}\)

Nie trzeba, choć sposób Igor V, nie pozostawia żadnych wątpliwości. Można zauważyć że ciąg \(\displaystyle{ a_n=n}\) numeruje się sam swoją własną wartością. Dlatego \(\displaystyle{ a_{2n}=2n}\) jest \(\displaystyle{ 2n-\text{tą}}\) wartością. Albo spójrz na to

\(\displaystyle{ 1+2+3+...+2n=\underbrace{1+2+...+n}_{\text{n wartości}}+\underbrace{(n+1)+(n+2)+...+(n+n)}_{\text{n wartości}}}\)

Czyi wszystkich jest \(\displaystyle{ n+n=2n}\)

Dzieki za odpowiedź. Teraz już wiem.