Problem z twierdzeniem Fubiniego

[derm]

Mam następujący problem:
Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x,y) = \frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\)
Jest ona niecałkowalna na kwadracie \(\displaystyle{ (0,1) \times (0,1)}\). Nie mam problemu z wykazaniem powyższego. Chciałabym natomiast, żeby ktoś mi wytłumaczył, gdzie jest błąd w poniższym rozumowaniu.
\(\displaystyle{ \int_{(0,1)\times (0,1)} \frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} d\lambda_{2} = \int_{(0,1)\times (0,1)} \frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} d\lambda_{2} - \int_{(0,1)\times (0,1)} \frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} d\lambda_{2}}\)
Każda z powyższych funkcji podcałkowych jest nieujemna (i mierzalna). Zatem mogę zastosować twierdzenie Fubiniego (no właśnie, mogę?)
\(\displaystyle{ I_{1} :=\int_{(0,1)\times (0,1)} \frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} d\lambda_{2} = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} dxdy}\)
\(\displaystyle{ I_{2}:= \int_{(0,1)\times (0,1)} \frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} d\lambda_{2} =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} dxdy}\)
Teraz dla \(\displaystyle{ I_{2}}\) korzystam z "podstawienia" \(\displaystyle{ x=y, y=x}\), a potem z twierdzenia Fubiniego zamieniam kolejność całkowania i dostaję:
\(\displaystyle{ I_{2} = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} dxdy = I_{1}}\)
więc wartość całki z funkcji \(\displaystyle{ f}\) na kwadracie jest równa 0. Zdaję sobie sprawę z tego, że to nieprawda, ale nie jestem pewna, w którym miejscu jest błąd.
Bardzo proszę o pomoc.

[Premislav]

A ile to jest \(\displaystyle{ \infty-\infty}\)?
Nie mówiąc już o tym, że do tej funkcji nie stosuje się twierdzenie Fubiniego, ten przykład jest rozważany nawet na wiki:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Fubiniego

[derm]

No właśnie, do tej się nie stosuje, ale do funkcji \(\displaystyle{ g(x,y) = \frac{x^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}}\) już mogę zastosować, prawda? Dlatego też tak rozdzieliłam. Czyli właściwie gdzie jest problem w przeprowadzonym rozumowaniu? Czy należałoby sprawdzić jaka jest wartość całki \(\displaystyle{ I_{1}}\)? Czy w takim razie \(\displaystyle{ g(x,y)}\) jest niecałkowalna na kwadracie?
Bo ogólnie coś minus to samo coś to jest 0, chyba, że okaże się, że odejmujemy \(\displaystyle{ \infty}\). O to chodzi?

[Premislav]

Tak, sorry, za szybko spojrzałem, zastosowałaś twierdzenie Fubiniego do innych funkcji niż na wikipedii.
No właśnie, tutaj odejmujemy \(\displaystyle{ \infty}\), to tak nie można.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x^2}{(x^2+y^2)^2}\,\dd x\,\dd y}\)
jest rozbieżna, podobnie ta druga.

[derm]

Ok, czyli tylko w tym problem. Taki banał, a nie mogłam zrozumieć o co chodzi... Dzięki : )