Obliczyć całkę

[legolas]

\(\displaystyle{ \oint_{K\left( -1,3\right) }\frac{\overline{z}}{\left( z+j\right)^3 }\dd z}\)

I jeśli dobrze pamiętam, to zarówna \(\displaystyle{ \overline{z}}\) jest holomorficzne, tak jak i każdy wielomian -> czyli ta funkcja jest holomorficzna poza punktem \(\displaystyle{ -j}\)
I generalnie tu się od razu nasuwa wzór Cauchy'ego,

\(\displaystyle{ \oint_{K\left( -1,3\right) }\frac{\overline{z}}{\left( z+j\right)^3 }\dd z=\oint_{K\left( -1,3\right) }\frac{f(z)}{\left( z+j\right)^3 }\dd z=f^{\left( 2\right) }\left( -j\right)\cdot\frac{2\pi j}{2!}}\)

No, ale czym jest pochodna \(\displaystyle{ \overline{z}}\)? Czy \(\displaystyle{ \frac{\partial\overline{z}}{\partial z}=\overline{\left( \frac{\partial z}{\partial z}\right) }}\)?

[Premislav]

Akurat \(\displaystyle{ \overline{z}}\) wybitnie nie jest holomorficzna i daleko jej do wielomianu.

Można sparametryzować brzeg tego okropieństwa:
\(\displaystyle{ z=-1+3e^{it}, t \in [0,2\pi)}\) i zaliczyć się na śmierć, zapewne istnieje też ładniejsze rozwiązanie. Ale ze wzoru Cauchy'ego tu nie skorzystasz.