calka oznaczona

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
otw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 54
Rejestracja: 14 lis 2006, o 17:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 6 razy

calka oznaczona

Post autor: otw » 20 wrz 2007, o 21:13

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}(\frac{x}{x^{2}-1}-\frac{x}{x^{2}+1})dx}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

calka oznaczona

Post autor: scyth » 21 wrz 2007, o 07:54

No to może policzymy najpierw całki nieoznaczone (pamiętaj o dziedzinie):
\(\displaystyle{ \int\left(\frac{x}{x^2-1}-\frac{x}{x^2+1}\right)dx = \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2-1}dx - \frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^2+1}dx}\)
Obie całki rozwiążemy przez podstawienie:
\(\displaystyle{ t=x^2-1, \ dt=2xdx \\
s=x^2+1, \ ds=2xdx}\)

i dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int\frac{dt}{t} - \frac{1}{2}\int\frac{ds}{s} = \frac{1}{2}\ln(t) - \frac{1}{2}\ln(s) + C}\)
Czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ \int\left(\frac{x}{x^2-1}-\frac{x}{x^2+1}\right)dx = \frac{1}{2} ft(\ln(x^2-1)-\ln(x^2+1)\right)+C}\)
Z tego widać, że całkę oznaczoną będzie ciężko wyliczyć w podanych przez Ciebie granicach (konkretnie chodzi o pierwszy logarytm).

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

calka oznaczona

Post autor: soku11 » 21 wrz 2007, o 12:05

Wcale nie trzeba robic podstawiania Bo:
\(\displaystyle{ \int \frac{f'(x)}{f(x)}=ln|f(x)|\\}\)

W twoim przypadku:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} t \frac{2x}{x^2-1}dx=\frac{1}{2}ln|x^2-1|}\)

BTW. Dodaj modul to bedzie troche latwiej POZDRO

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

calka oznaczona

Post autor: scyth » 21 wrz 2007, o 12:19

To jest dokładnie to, co osiągamy po podstawieniu - wolałem rozpisać jakby co
Moduł - fakt.

ODPOWIEDZ