Matematyka.pl

wyznacz ekstremum warunkowe funkcji \(\displaystyle{ f \left( x,y \right) =xy ^{3}z ^{3}}\) gdy \(\displaystyle{ x+2y+3z=6}\)
punkt stacjonarny znaleziony za pomocą mnożników Lagrange'a: \(\displaystyle{ P \left( \frac{6}{7} , \frac{9}{7} , \frac{6}{7} \right)}\)
Moje pytanie jest takie, w jaki sposób zastosować twierdzenie o warunku wystarczającym do określenia czy w danym punkcie znajduje się ekstremum, oraz do określenia go (min/max)
próbowałem samemu znaleźć taką informację, ale gubię się w wytłumaczeniach

Ten artykuł widziałeś?


Trochę mi się nie chce tego przepisywać, a nie wiem, czego konkretnie nie rozumiesz.

Hesjan obrzeżony to fajna metoda, ale nie do wszystkich przykładów się nadaje.

Tw o warunku wystarczającym:
Jeżeli funkcje\(\displaystyle{ f, g_{1} g_{2} , ... g_{m}}\)są klasy \(\displaystyle{ C^{2}(D)}\), w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\) spełnione są warunki konieczne istnienia ekstremum warunkowego oraz:
\(\displaystyle{ d^{2}L(x _{0} )(h)>0}\)
lub
\(\displaystyle{ (d^{2}L(x _{0} )(h)<0)}\)*

dla \(\displaystyle{ h \neq 0}\) i takich że
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \partial g_{1} }{ \partial x_{1} }(x _{0}) h_{1} +\frac{ \partial g_{1} }{ \partial x_{2} }(x _{0}) h_{2} + ... + \frac{ \partial g_{1} }{ \partial x_{n} }(x _{0}) h_{n} =0 \\ \frac{ \partial g_{m} }{ \partial x_{1} }(x _{0}) h_{1} + \frac{ \partial g_{m} }{ \partial x_{2} }(x _{0}) h_{2} + ... + \frac{ \partial g_{m} }{ \partial x_{n} }(x _{0}) h_{n}=0 \end{cases}}\)

to w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\) jest lokalne minimum warunkowe funkcji (lub lokalne maksimum warunkowe*)

byłbym wdzięczny jakby ktoś przetłumaczył to z matematycznego na moje xd