w graniastosłup wpisano kule

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
kuba_guzik110
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 20 wrz 2007, o 19:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok

w graniastosłup wpisano kule

Post autor: kuba_guzik110 » 20 wrz 2007, o 20:06

zad 1
w ostroslupie prawidlowym czworokatnym dlugosc wysokosci wynosi 8cm a krawedz podstawy ma dlugosc 12cm oblicz dlugosc promienia kupi wpisanej w ten ostrosłup oraz promienia kuli opisanej na tym ostroslupie

zad 2
w graniastosłup prawidłowy trójkątny wpisano kulę. oblicz stosunek objętości kuli do objętości graniastoslupa oraz stosunek pola powierzchni kuli do pola powierzchni graniastoslupa

zad 3
wysokość trojkątnego ostrosłupa prawidłowego ma długość h a krawedzie boczne są do siebie prostopadle. wyznacz dlugość promienia kuli opisanej na tym ostroslupie

[ Dodano: 24 Września 2007, 07:34 ]
czy nikt mi nie umie pomoc z tymi zadaniami ??
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3015
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 322 razy

w graniastosłup wpisano kule

Post autor: florek177 » 24 wrz 2007, o 17:57

1.
a) - kula wpisana - odpowiada okręgowi wpisanemu w trójkąt równoramienny o podstawie równej podstawie ostrosłupa i ramionach równych wysokościom ścian bocznych. Promień możesz obliczyć ze wzoru na pole trójkąta i jego obwód lub z podobieństwa trójkątów.
b) - kula opisana - odpowiada okręgowi opisanemu na trójkącie równoramiennym, którego podstawą jest przekątna podstawy ostrosłupa a ramionami - ramiona ostrosłupa. Promień ze wzoru.

2.
Promień kuli musi być równy połowie wysokości graniastosłupa H = 2r , oraz r = 1/3 h - w podstawie jest trójkąt równoboczny ( h - wysokość podstawy ). Wyraź wielkości potrzebne do obliczenia V kuli i V graniastosłupa przez - a ( podstawa graniastosłupa) , które uprościsz licząc stosunek objętości.
Analogicznie z powierzchniami.

3.
Ściany boczne są trójkątami prostokątnymi, więc nachylenie krawędzi ściany bocznej do krawędzi podstawy = 45 st.

hubert632
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 6 maja 2008, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wrocław

w graniastosłup wpisano kule

Post autor: hubert632 » 5 mar 2009, o 14:30

Odnośnie zadania 3. Skąd wiadomo, że ściana boczna do podstawy jest nachylona pod kątem 45? Wogóle tego nie widzę...

Za wyjaśnienia z góry dziękuję

florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3015
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 322 razy

w graniastosłup wpisano kule

Post autor: florek177 » 5 mar 2009, o 22:00

3. żeby wszystkie 3 ściany boczne były trójkątami prostokątnymi, kat prosty musi być przy wierzchołku a krawędzie są jednakowej długości.

hubert632
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 6 maja 2008, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wrocław

w graniastosłup wpisano kule

Post autor: hubert632 » 6 mar 2009, o 01:14

Z tego co powiedziałeś wnioskuję, że ten kąt 45 jest między krawędzią ściany bocznej a krawędzią podstawy, a nas interesuje między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy...

Wiem, że namolny jestem, ale chce to pojąć...

florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3015
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 322 razy

w graniastosłup wpisano kule

Post autor: florek177 » 6 mar 2009, o 10:28

Wysokość ściany bocznej = połowie krawędzi podstawy ( trójkąt prostokątny równoramienny ).
Wysokość podstawy - \(\displaystyle{ h_{p} \,\,\,}\) wyrazisz przez a, gdzie a - krawędź podstawy. Z pitagorasa obliczysz \(\displaystyle{ a(H) \,\,\,}\) oraz \(\displaystyle{ k(H) \,\,\,}\) ; k - krawędź boczna.
Wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H = x + R \,\,\,}\) --> R - szukany promień.

\(\displaystyle{ x = H - R}\) ;
\(\displaystyle{ {H }^{2} + ( \frac{2}{3} \, h_{p} )^{2} = k^{2}}\) ;
\(\displaystyle{ { x}^{2} + ( \frac{2}{3} \, h_{p} )^{2} = R^{2}}\) ;

Wyznaczasz \(\displaystyle{ R(H)}\)

ODPOWIEDZ