Matematyka.pl

Witam. Znana jest nierówność \(\displaystyle{ \sin x \le x}\). Ale jaki jest dowód tej nierówności ?

Ta nierówność jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\). Dla \(\displaystyle{ x<0}\) odwraca się. Niech \(\displaystyle{ g(x)=x-\sin x}\). Mamy \(\displaystyle{ g'(x)=1-\cos x\ge 0}\), więc \(\displaystyle{ g}\) jest niemalejąca. Skoro \(\displaystyle{ g(0)=0}\), to wobec tego \(\displaystyle{ g(x)\ge g(0)=0}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\).

Dzięki, o to właśnie mi chodziło

Można też przeprowadzić rozumowanie geometryczne na okręgu jednostkowym, wystarczy znajomość funkcji trygonometrycznych i miary łukowej kąta.

jest pokazane o co chodzi. Wstawiam link, bo nie umiem rysować w latexu.

Można też powołać się na punkt przegięcia sinusa w zerze - wiele jest podejść do tej znanej nierówności.