Matematyka.pl

Funkcja ciągła \(\displaystyle{ f: R \rightarrow R}\) jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze \(\displaystyle{ R \setminus \{0\}}\), przy czym \(\displaystyle{ f''(x)=1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x \neq 0}\). Ponadto wiadomo, że \(\displaystyle{ f(-3)=-3, f(-1)=-1, f(1)=1}\). Wyznacz \(\displaystyle{ f(5)}\)

Zadanie rozwiązuję tak:

Przez całkowanie wyznaczam \(\displaystyle{ f(x)}\) i otrzymuję, że
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}x^2+Cx+D}\).

I teraz moje pytanie.. Funkcja może mieć dwa różne wzory po dwóch stronach zera. Wydaje mi się, że treść nie pokazuje, że jest to funkcja klasy \(\displaystyle{ C^1}\), czy może się mylę?

Jeśli nie jest (założyć chyba również nie powinienem) to potrzebuję dwa punkty po stronie dodatniej, których nie mam.. jeśli jest, to nie ważne jakie punkty wezmę - wzór jest ten sam. Jednak zastanawia mnie dlaczego w zadaniu podano 3 punkty..

Skoro nic nie wiadomo o ciągłości tej funkcji w zerze, to pewnie danych jest za mało.

Z treści wynika jednoznacznie, że \(\displaystyle{ f}\) jest ciągłą na całej prostej, jest zatem także ciągła w zerze. To pozwala jednoznacznie wyznaczyć tę funkcję.

JK