Matematyka.pl

Witam, mam za zadanie za pomocą zmiany zmiennych obliczyć całkę:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} x^{3} + y^{3}dxdy}\) w obszarze ograniczonym przez: \(\displaystyle{ x^{2}=3y, x^{2}=5y, y^{2}=x}\)

wykres wygląda następująco: a moje obliczenia są takie:
\(\displaystyle{ u= \frac{ x^{2} }{y}}\)
\(\displaystyle{ v= \frac{ y^{2} }{x}}\)
\(\displaystyle{ x^{3}= u^{2} \times v}\)
\(\displaystyle{ y^{3}= v^{2} \times u}\)

i teraz to z czym nie mam 100% pewności:
\(\displaystyle{ 3\le u \le5}\)
\(\displaystyle{ 0\le v \le1}\)

Jakobian tego przekształcenia wyszedł mi równy 3, czyli powinienem to następnie zapisać w ten sposób?
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} x^{3} + y^{3}dxdy == \int_{}^{} \int_{}^{}\left( u^{2}v +v^{2}u \right) \times 3 dudv}\)

i teraz wystarczy to ylko policzyć, jeśli nie ma błędów, tak?

sarevok37 pisze:i teraz to z czym nie mam 100% pewności:
\(\displaystyle{ 3\le u \le5}\)
\(\displaystyle{ 0\le v \le1}\)

To, jak i wcześniejsze wyniki, jest poprawne.

sarevok37 pisze:Jakobian tego przekształcenia wyszedł mi równy 3

A mi wyszedł troszkę inny:
\(\displaystyle{ J= \frac{4uv-1}{9u^2v^2}}\)


PS
Tę całkę można szybciej wyliczyć zwyczajne, dzieląc obszar całkowania na dwa obszary normalne.

czy jakobian nie powinien być liczony z funkcji \(\displaystyle{ u(x,y)}\) oraz \(\displaystyle{ v(x,y)}\)?
wtedy byłby on równy: \(\displaystyle{ \frac{2x}{y} \times \frac{2y}{x} - \frac{- x^{2} }{ y^{2} } \times \frac{ -y^{2} }{ x^{2} } = 4 - 1 = 3}\)
gdy patrzę na odpowiedzi to to się jeszcze zgadza, ale nie wiem czemu jest w nich następnie taki krok:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} \left( u^{2}v + v^{2}u\right) \times \frac{1}{3}dudv}\)
nie wiem czy jest to błąd w odpowiedzi (dlaczego jest \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\), a nie \(\displaystyle{ 3}\) ) czy ja czegoś nie rozumiem, dlatego proszę o pomoc bo utknąłem w tym punkcie ;p

Ja jakobian liczę tak:
\(\displaystyle{ J(u,v)=\begin{vmatrix} x'_u&x'_v\\y'_u&y'_v\end{vmatrix}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x=f(u,v) \wedge y=g(u,v)}\)

Dobrze?

czy dobrze myślę że ja policzyłem jakiegoś odwrotnego Jakobiana, i to dlatego mam odwrotną wartość w równaniu?
bo jednak u ciebie jest ten poprawny xd
Wieczorem nad tym przysiądę jeszcze raz