Matematyka.pl

Budujemy nieskończony ciąg figur \(\displaystyle{ F_{n}}\) . Pierwszą figurą jest kwadrat o boku \(\displaystyle{ a}\). Następnie dzielimy każdy bok kwadratu na trzy równe części i "doklejamy" cztery kwadraty o boku \(\displaystyle{ \frac{a}{3}}\) . W ten sposób otrzymujemy drugi wyraz ciągu. W kolejnym kroku dzielimy trzy boki mniejszych czterech kwadratów i "doklejamy" do nich dwanaście kwadracików o boku \(\displaystyle{ \frac{a}{9}}\). Analogicznie konstruujemy kolejne figury ciągu \(\displaystyle{ F _{n}}\).

Wykaż, że \(\displaystyle{ P _ {n} = a^{2} \left( \frac{5}{3}- \frac{2}{3^n} \right)}\) gdzie \(\displaystyle{ P _ {n}}\) to pole figury\(\displaystyle{ F _ {n}}\)
Udało mi się stworzyć wzór rekurencyjny dla tworzonych figur, jednak nie potrafię wzoru na \(\displaystyle{ P_{n
}}\) przerobić na postać podaną w tezie, gdyż u mnie występuje\(\displaystyle{ a _{n-1}.}\)

Oto moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ { P_{1}=a^{2}} \wedge a_{n}=a_{n-1}+4 \cdot 3^{n-2} \cdot \left( \frac{a}{3^{n-1}} \right) ^2}\)

Nie sprawdzałem czy rekurencja jest poprawna, ale dla idei zadania nie jest to w tej chwili najważniejsze. Możesz spróbować udowodnić indukcyjnie, że wszystko pasuje. Możesz też rozwiązać rekurencję liniową, jaką masz w ostatniej linii. Robiono wo tu wiele razy, dlatego nie zabiorę w tej sprawie głosu wskazując jedynie drogę.

Zdaję sobie sprawę, że nawet to zadanie jest już na forum, ale jest ono rozwiązane pojęciami mi obcymi, gdyż jestem w 2 klasie liceum i chciałabym wiedzieć jak rozwiązać to zadanie na moim poziomie

Rozumiem. Jak na 27 lat to trochę długo w tym liceum siedzisz. A czy indukcja jest Ci dostępna?

Po prostu nie chciałam wpisywać swojej konkretnej daty urodzenia, a przy zakładaniu konta słowa "Wybranie roku spowoduje wyświetlenie Twojego wieku w dniu Twoich urodzin." naprowadziły mnie na stwierdzenie, że wiek nie zostanie wyświetlony na forum publicznie. A co do zadania to z indukcją miałam coś do czynienia, ale w przypadku tego zadania nie potrafię jej zastosować, stąd wolałabym zastosować pojęcia mi bliższe, a skoro zadanie znalazło się w moim licealnym zbiorze, tzn. że "da się"

Na pewno się da, ale wobec tego trzeba sprawdzić czy dobrze określasz tę zależność na pole, a potem powalczyć. Jako pewien wzór proponuję jeden ze swoich blogowych wpisów (o wieszaniu firanek). Tam zobaczysz jak można różne rekurencje rozwiązywać z taką wiedzą, jaką proponujesz. Chodzi o obejrzenie prezentowanej tam metody i zbadanie możliwości jej zastosowania w Twoim zadaniu. ... zawieszal/