tw. o residuach + osobliwości

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
szaki9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 31 sie 2017, o 15:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: WWA

tw. o residuach + osobliwości

Post autor: szaki9 » 1 wrz 2017, o 15:54

Hej,
przerabiając zadania z punktów osobliwych i całek zespolonych napotkałam się na kilka trudności.

1. Mam zadanie w którym muszę wyznaczyć wszystkie osobliwości funkcji i w przypadku biegunów podać ich krotności.
Funkcja:

\(f(z)= \frac{1}{(1-cos z) ^{2} }\)

wychodzi mi biegun \(= 2k \pi , k \in Z\)

i potem licząc krotność i korzystając z definicji: Rzędem bieguna \(z _{0}\) funkcji f nazywamy krotność tego punktu jako zera funkcji \(G = \frac{1}{f(z)}\)

wychodzi mi krotności równa 2, w odpowiedziach podają krotność tego bieguna równą 4. Muszę mieć jakiś błąd w rozumowaniu, a nie widzę skąd wynika różnica, pewnie chodzi o coś prostego :<.

2. Mam również zadanie, aby obliczyć całkę

\(\int_{}^{} \frac{1}{1+z ^{4} } dz\)

która jest liczona po \(T _{R}\) które jest brzegiem wycinka \(\left\{ re ^{it}: t \in \left[0, \frac{ \pi }{2} \right] , r \in [0,R] \right\}\). A potem obliczyć:

\(I= \int_{0}^{ \infty } \frac{1}{1+x ^{4} } dx\).

Nie wiem jak skorzystać tutaj z tego brzegu i parametryzacji, aby to obliczyć z Tw. o residuach.
Też mam kolejne pytanie, jak zachować się w związku z tym, że ta druga całka (I) jest od 0 do nieskończoności, a nie od minus nieskończoności? Korzystamy tutaj z lematu, który mówi że taka całka jest równa sumie residuów pomnożonej przez \(2 \pi i\), ale granice są inne niż w tym lemacie.

Każda pomoc będzie super mile widziana siedzę już nad tym trochę i nie umiem dojść do czegoś sensownego.

NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1477
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: tw. o residuach + osobliwości

Post autor: NogaWeza » 1 wrz 2017, o 16:26

1) Weźmy \(G = (1 - \cos z)^2\) i rozwińmy w szereg, mamy \(G = \left( 1 - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} \right)^2 =\)

\(= \left( 1 - 1 + \frac{1}{2}z^2 - \frac{1}{24}z^4 + ... \right)^2 = \left[ z^2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{24}z^4 + ... \right) \right]^2 = z^4 \cdot H(z)\), gdzie \(H(0) \neq 0\)

No i stąd mamy krotność tego zera równą \(4\), a zatem rząd bieguna funkcja \(f\) też jest \(4\). Tutaj pokazałem dla \(0\), ale to się łatwo uogólnia na dowolne inne zera wobec okresowości cosinusa.



2) Tej pierwszej całki nie chce mi się liczyć, ale pomogę z drugą. Można zauważyć, że \(\frac{1}{1+x ^{4} }\) jest funkcją parzystą (a odpowiednia z niej całka jest zbieżna), więc \(\int_{-\infty}^{ 0 } \frac{1}{1+x ^{4} } \dd x = \int_{0}^{ \infty } \frac{1}{1+x ^{4} } \dd x\). Naturalnie jeśli się te całki zsumuje, to \(\int_{- \infty}^{0} + \int_{0}^{\infty} = \int_{\infty}^{\infty} = 2 \int_{0}^{\infty}\), tak więc \(I = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} f(x) \dd x\).
Co do tego typu całek to może zainteresuje Cię ten temat:

szaki9
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 31 sie 2017, o 15:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: WWA

Re: tw. o residuach + osobliwości

Post autor: szaki9 » 5 wrz 2017, o 07:17

dzięki wielkie za pomoc

co do tej całki, to policzyłam ją z tw. o residuach, rozbijając ten wycinek na 3 części i sumując całki.

tylko w odpowiedziach mam napisane, że \((1-i)I=2 \pi i res _{e ^{ \frac{\pi i }{4} } } f(z)\)
i trochę nie rozumiem skąd to (1-i) przed wynikiem I, skoro jest tutaj tylko to jedno residuum :/

ODPOWIEDZ