Matematyka.pl

Liczy się uczciwa rywalizacja Ty młody spryciarzu! (albo adminie)

NTT

a) wystarczy rozpatrzyć trójkąt równoramienny prostokątny o bokach długości \(\displaystyle{ \sqrt{2}, \sqrt{2}, 2}\) - jego wysokości to wówczas \(\displaystyle{ \sqrt{2}, \sqrt{2}, 1}\))

b) Na mocy twierdzenia Pitagorasa wysokość wypuszczona z punktu Z trójkąta XYZ jest nie dłuższa od boków XZ i YZ. Wobec tego jeśli w pewnym trójkącie ABC wysokości wypuszczone z punktów A i B są dłuższe od 1, to odpowiednio pary boków: AB, AC oraz BA, BC są tym bardziej dłuższe od 1, co kończy dowód.

c) Skoro pewna wysokość jest dłuższa od 1 i opada ona na bok dłuższy od 1 (na mocy rozumowania z b)), to iloczyn tej wysokości i tego boku też jest większy od 1; po podzieleniu tego iloczynu przez 2 otrzymujemy pole trójkąta (większe od \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)).

NNN
a), b) Liczby \(\displaystyle{ a=99, b=999}\) przeczą zdaniom zawartym w podpunktach.
c) Dla liczb \(\displaystyle{ a=10, b=990}\) liczby \(\displaystyle{ a+b}\) (1000) oraz \(\displaystyle{ ab}\) (9900) mają tyle samo cyfr.