Matematyka.pl

doszedłem do wyrażenia \(\displaystyle{ (x^{2}+y^{2})(z^{2}+1)=5=5 \cdot 1}\) i napisałem odpowiednie dwa układy równań, nie napisałem, że nie można "rozbić" \(\displaystyle{ 5}\) na czynniki \(\displaystyle{ -5 \cdot (-1)}\), ponieważ liczby są kwadratami liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) nieujemne (no i tam jeszcze jest \(\displaystyle{ 1}\)).

Rozwijamy te wyrażenia:
\(\displaystyle{ a ^{2} +b ^{2} +2ax+2bx+2x ^{2} =c ^{2}+x ^{2}+2cx}\). Skoro \(\displaystyle{ a ^{2} +b ^{2}=c ^{2}}\), to:
\(\displaystyle{ 2ax+2bx-2cx+x^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x(2a+2b-2c+x)=0}\), więc \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ 2a+2b-2c+x=0 , x \neq 0}\) (bo dodatni), więc
\(\displaystyle{ 2a+2b-2c+x=0}\), czyli
\(\displaystyle{ 2a+2b+x=2c}\), więc skoro \(\displaystyle{ x>0}\), to \(\displaystyle{ 2a+2b<2c |:2}\)
\(\displaystyle{ c>a+b | ^{2}}\) (obie strony dodatnie),
\(\displaystyle{ c^{2}>a ^{2} +b ^{2}+2a b |- c^{2} ( =a ^{2} +b ^{2} )}\)
\(\displaystyle{ 0 >2ab}\) - sprzeczność (\(\displaystyle{ a,b}\) - dodatnie)

\(\displaystyle{ \begin{cases}x-yz=1 \ \ \ \ | \ .^{2} \\ xz+y=2 \ \ \ \ | \ .^{2} \end{cases}}\) Podnosząc oba równania stronami do kwadratu otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^{2}-2xyz+y^{2}z^{2}=1 \\ x^{2}z^{2}+2xyz+y^{2}=4\end{cases}}\) Dodając oba równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x^{2}z^{2} + y^{2}z^{2} + x^{2} + y^{2} = 5}\)
\(\displaystyle{ (x^{2}+y^{2})(z^{2} + 1) = 5 \cdot 1}\)
Więc mamy taki układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} + y^{2} = 1 \\ z^{2} + 1 = 5 \end{cases}\wedge \ \ \begin{cases} x^{2} + y^{2} = 5 \\ z^{2} + 1 = 1 \end{cases}}\).
Każda ze stron lewego równania jest dodatnia, więc nie można zapisać prawej strony równania jako liczb \(\displaystyle{ -5 \cdot (-1) = 5}\). <tego zapomniałem napisać w rozwiązaniu>
Liczba \(\displaystyle{ z}\) może więc przybrać jedynie trzy wartości: \(\displaystyle{ -2}\), \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 2}\).
Gdy \(\displaystyle{ z=-2}\), to:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x-(-2y)=x+2y=1 \\ -2x+y=2\end{cases}}\) Mnożąc pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ 2}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}2x+4y=2 \\ -2x+y=2\end{cases}}\) Dodając oba równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 5y=4}\) Dzieląc przez 5 mamy:
\(\displaystyle{ y= \frac {4} {5} \Rightarrow}\) sprzeczność.
Gdy \(\displaystyle{ z=0}\), to:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x-0=1 \\ 0+y=2\end{cases}}\) Więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}}\)
Bezpośrednio sprawdzając, trójka liczb \(\displaystyle{ (1, 2, 0)}\) spełnia układ równań podany w zadaniu.
Gdy \(\displaystyle{ z=2}\), to:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x-2y=1 \\ 2x+y=2\end{cases}}\) Mnożąc drugie równanie przez \(\displaystyle{ 2}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x-2y=1 \\ 4x+2y=4\end{cases}}\) Dodając oba równania otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 5x=5}\), więc \(\displaystyle{ x=1}\).
\(\displaystyle{ xz+y=1 \cdot 2 + y = 2}\) Odejmując \(\displaystyle{ 2}\) od obu stron otrzymujemy \(\displaystyle{ y=0}\).
Bezpośrednio sprawdzając, trójka \(\displaystyle{ (1, 0, 2)}\) spełnia warunki zadania.

Odpowiedź.: Wszystkie trójki liczb \(\displaystyle{ (x, y, z)}\) spełniające układ równań podany w treści zadania to trójki \(\displaystyle{ (1, 2, 0)}\) oraz \(\displaystyle{ (1, 0, 2)}\).