Matematyka.pl

Utknąłem w pewnym zadanku..
Wyznacz promień zbieżności szeregu potęgowego:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{2n^2} \cdot x^{n^2}}{((2n)!)^n}}\)

Chciałem zrobić tak:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n^{2n^2}}{((2n)!)^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2n}}{(2n)!}}\)

No i dalej stoję...

-- 31 sie 2017, o 11:37 --

Już wiem... Ale może ktoś zweryfikować. Stosuję kryterium Cauchy'ego dla szeregu danego w zadaniu, przez co dostanę jakiś ciąg i dla tego ciągu można zastosować kryterium d'Alamberta. Wtedy wszystko ładnie wychodzi..

Szereg \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_n}\) jest zbieżny tylko gdy \(\displaystyle{ a_n \rightarrow 0}\), więc jeśli wyjdzie Ci zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{n^{2n}}{(2n)!}}\), to dostajesz automatycznie \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n}}{(2n)!} = 0}\). Pojawia się jeden problem, mianowicie ten szereg nie jest zbieżny Sama metoda badania granic ciągu kryteriami zbieżności szeregów jest w porządku, po prostu tutaj nie działa.

Ja mam jeden pomysł na tę granicę - wynikającą ze wzoru Stirlinga nierówność: \(\displaystyle{ \left( \frac{n}{e} \right)^n \ge n!}\), trzeba ją przewrócić na drugą stronę i podstawić \(\displaystyle{ n \rightarrow 2n}\).

tomek1172 pisze:Utknąłem w pewnym zadanku..
Wyznacz promień zbieżności szeregu potęgowego:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{2n^2} \cdot x^{n^2}}{((2n)!)^n}}\)

Chciałem zrobić tak:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n^{2n^2}}{((2n)!)^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2n}}{(2n)!}}\)

No i dalej stoję...

-- 31 sie 2017, o 11:37 --

.

W ten sposób policzysz promień zbieżności szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{2n^2} \cdot x^{n}}{((2n)!)^n}}\)

A tu nie o to chodzi...