Pytanie o kąty przy wyprowadzaniu wzoru

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
zyziolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 5 sty 2015, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Pytanie o kąty przy wyprowadzaniu wzoru

Post autor: zyziolek » 29 sie 2017, o 11:43

Witajcie, zastanawia mnie jedna rzecz, otóż dlaczego kąty teta zaznaczone na rysunku są takie same i jaka jest tego podstawa matematyczna, może to się okazać trywialne, choć jednak chciałbym zrozumieć dlaczego tak jest, bo już się głowie nad tym trochę za długo, z góry dzięki za pomoc.

Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2786
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 906 razy

Re: Pytanie o kąty przy wyprowadzaniu wzoru

Post autor: Janusz Tracz » 29 sie 2017, o 11:49

dlaczego kąty teta zaznaczone na rysunku są takie same
Zauważ że masz dwie pary prostych prostopadłych dwie osie z układu \(\displaystyle{ xy}\) i dwie jako promień i styczną do okręgu. Jeśli więc promień odchylisz od prostej \(\displaystyle{ x}\) o kąt \(\displaystyle{ \theta}\) to styczna musi również odchylić się o \(\displaystyle{ \theta}\) od prostej \(\displaystyle{ y}\) by zachować prostopadłość. Wiem że to nie jest bardzo formalne rozumowanie ale wydaje że powinno Ci pomóc.

Bardziej matematycznie można to wyprowadzić w taki sposób że przy wierzchołku \(\displaystyle{ p}\) znajduje się kąt \(\displaystyle{ 90^{\circ}-\theta}\) i \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) więc dopełnieniem do \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\) jest własnie kąt \(\displaystyle{ \theta}\).

zyziolek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 5 sty 2015, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Re: Pytanie o kąty przy wyprowadzaniu wzoru

Post autor: zyziolek » 29 sie 2017, o 12:08

Tak, masz rajcę, pomogłeś mi to sobie wyobrazić, przesuwam promień zgodnie w kierunkiem ruchu cząstki i kąt teta rośnie w obu przypadkach, dzięki.
Jednak jeszcze zapytam o matematyczne wyjaśnienie tego, czy istnieje jakieś twierdzenie, definicja czy cokolwiek o której mógłbym znaleźć coś w książce lub internecie?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2786
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 906 razy

Re: Pytanie o kąty przy wyprowadzaniu wzoru

Post autor: Janusz Tracz » 29 sie 2017, o 12:15

No tak jak wcześniej pisałem z tymi kątami.
\(\displaystyle{ 1)}\) Kąty w trójkącie sumują się do \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\) dlatego w trójkącie o bokach \(\displaystyle{ x_p, y_p, r}\) kąty będą miały miarę \(\displaystyle{ \theta}\), \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ 90^{\circ}-\theta}\).
\(\displaystyle{ 2)}\) Kąty ma prostej sumują się do \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\) spójrz więc na przedłużenie boku \(\displaystyle{ y_p}\) masz tam kąty \(\displaystyle{ 90^{\circ}-\theta}\), \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) no to żeby się zgadzało to kąt o jaki pytasz musi mieć miarę \(\displaystyle{ \theta}\)

Awatar użytkownika
Cytryn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 405
Rejestracja: 17 wrz 2016, o 17:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 46 razy

Re: Pytanie o kąty przy wyprowadzaniu wzoru

Post autor: Cytryn » 29 sie 2017, o 12:19

Pomocny rysunek:


kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6533
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 1053 razy

Re: Pytanie o kąty przy wyprowadzaniu wzoru

Post autor: kruszewski » 29 sie 2017, o 17:51

Wystarczy zauważyć, że kąt \(\displaystyle{ \beta}\) ma swój odpowiadnik jako wierzchołkowy i to że suma kątów \(\displaystyle{ \theta}\) i wierzchołkowego ma miarę kąta prostego zaś suma kątów \(\displaystyle{ \theta + \beta}\) w trójkącie jest dopełnieniem kąta prostego do półpełnego. Zatem zachodzi równość onych "thet".
Potrzebny rysunek ?
W.Kr.

ODPOWIEDZ