Pomoc w dokończeniu zadania z zmiennej dwuwymiarowej.

[zeeloony]

Mam zadanie gdzie mam wyznacyzć gęstość prawdopodobieństwa (U,V) dla a) U = X+Y, Z=X-Y i b) Z=X+Y. Oraz zbadać niezależność f(xy).
Wektor losowy (X,Y) ma gęstość
\(\displaystyle{ f_{XY}(x,y) = \frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ |x|+|y| < 1}\),
poza tym obszarem zero (wiadomo to stąd, że obszar ma pole 2, a całka po całej przestrzeni musi się równać jeden).

Warunkiem na niezależność statystyczną jest
\(\displaystyle{ P[X P[Y f_{Y}(y) = f_{XY}(x,y)}\).
Wzór na gęstość \(\displaystyle{ f_{XY}}\) mam, wzór na gęstość \(\displaystyle{ f_X}\) obliczam całkując \(\displaystyle{ f_{XY}}\) po odpowiednim przedziale:
\(\displaystyle{ f_{X}(x) = t_{-x-1}^{x+1} f_{XY}(x,y) dy$ dla $x [-1,0)}\) i
\(\displaystyle{ f_{X}(x) = t_{x-1}^{-x+1} f_{XY}(x,y) dy$ dla $x [0,1]}\),
wszędzie indziej zero.
ale nie wiem już jakie granice dobrać dla \(\displaystyle{ f_Y}\)

I co dalej zrobić żeby zbadać ich niezależność....

Gęstość zmiennej (U,V) wyznaczam ze wzoru
\(\displaystyle{ f_{UV}(u,v) = f_{XY}(x(u,v),y(u,v)) ft| J_{h^{-1}} \right|}\),
gdzie przekształceniem \(\displaystyle{ h}\) jest
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} U=X+Y \\ V=X-Y \end{array}}\),
przekształceniem odwrotnym \(\displaystyle{ h^{-1}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} X= \frac{U+V}{2} \\ Y= \frac{U-V}{2} \end{array}}\),
a \(\displaystyle{ J_{h^{-1}}}\) jakobianem tego przekształcenia, czyli
\(\displaystyle{ J_{h^{-1}} = ft| \begin{array}{cc} \frac{\partial X}{\partial U} & \frac{\partial X}{\partial V} \\ \frac{\partial Y}{\partial U} & \frac{\partial Y}{\partial V} \\ \end{array} \right|}\).

Wiem, że trzeba wyznaczyć przediały dla zmiennych u i v ale nie wiem jak to zrobić. I jak połaczyć to w całość, żeby podać sensowną odpowiedź?

Żeby wyznaczyć gęstość \(\displaystyle{ Z=X+Y}\) muę dobrać sobie jeszcze jedną zmienną do przekształcenia, np \(\displaystyle{ T = X}\), na podstawie tego, co napisałam wyżej wyznaczyć gęstość \(\displaystyle{ f_{ZT}(z,t)}\), a potem wycałkować po \(\displaystyle{ T}\) żeby wyznaczyć \(\displaystyle{ f_{Z}}\).

[sigma_algebra1]

Widzę, że problemu ciąg dalszy otóż:

Problem I

Obliczając gęstość brzegową dla Y liczysz analogicznie, czyli znowu y rozkładasz na takie same przedziały jak x (zauważ, ze obszar całkowania to taki przekręcony kwadrat z wierzchołkami na osiach i środkiem w początku układu współrzędnych), granice wyznaczasz podobnie, tylko mając wzory na te funkcje liniowe uzależniasz x od y czyli np. y=x+1 zamieniasz na x=y-1, i analigicznie reszte.
Jeśli wyliczysz gęstości brzegowe, zmienne będą niezależne jesli dla każdego punktu będzie równość iloczynu gęstości brzegowych i gęstości łącznej, czyli jeśli to co Ci wyjdzie przemnożysz powinno na tym "kopniętym" kwadracie dawac \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a poza nim 0. Jeśli tak nie będzie niezależności nie ma.

Problem II

Tuataj dokładnie nie zrozumiałam co masz wyliczyc, ale przeanalizujmy po kolei:

Wczoraj wyliczyłaś że ta nowa gęstość będzie wynosić \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) na kwadracie o boku 2 o środku w początku układu wszpółrzędnych i bokach równoległych do osi. Więc tę gęstość już znasz
Jeśli Ci chodzi o wyliczenie gęstości Z=X+Y to możesz wykorzystać już ten wynik, albo tak jak mówisz wprowadzić T=X i obliczyć tak jak poprzednio funkcje odwrotne i jakobian i podstawić do wzoru, uzyskasz wtedy gęstość łączną wektora (Z,T) i całkując po t obliczysz tak naprawdę gęstość brzegową, czyli gęstość zmiennej Z. Ale jeśli już masz gęstość łączna (U,V) warto ją wykorzystać. Przecież Twoje Z jest równoznaczne z Twoim U. Czyli mając gęstość łączną wektora (U,V) wystarczy policzyć analogicznie jak w problemie I (uwzględniając oczywiście nową gęstość i nowy obszar) gęstość brzegową,czyli scałkować po v .