Matematyka.pl

1. Czy siedmiokąt można pociąć na sześciokąty wypukłe?
2. W kwadracie zaznaczmy \(\displaystyle{ n}\) punktów i łączymy je odcinkami, które nie przecinają się między sobą w punktach wewnętrznych oraz z wierzchołkami kwadratu w taki sposób, że kwadrat został rozcięty na trójkąty. Żadne trzy z tych punktów i wierzchołków kwadratu nie leżą na jednej prostej. Uzasadnij ile otrzymano trójkątów.
3. \(\displaystyle{ 15}\) drużyn rozgrywa turniej każdy z każdym. Pokazać, że w pewnym meczu spotkają się drużyny, które zagrały dotychczas w sumie nieparzystą ilość spotkań.
4. Pokazać, że w \(\displaystyle{ 17}\) osobowym towarzystwie, w którym każda osoba zna cztery inne, znajdą się dwie osoby, które się nie znają i nie mają wspólnych znajomych.
5. W grupie jest \(\displaystyle{ 30}\) osób. Każdej osobie podoba się dokładnie \(\displaystyle{ n}\) osób z grupy. Przy jakiej minimalnej wartości \(\displaystyle{ n}\) prawdziwe jest stwierdzenie: "w grupie są dwie osoby, które się podobają sobie nawzajem"?
6. W pewnym państwie jest \(\displaystyle{ n}\) miast. Pomiędzy każdymi dwoma jest droga jednokierunkowa. Pokazać, że istnieje miasto, z którego można dojechać do każdego innego miasta z nie więcej niż jedną przesiadką.
7. Czy można \(\displaystyle{ 10}\) miast połączyć ze sobą nieprzecinającymi się drogami w taki sposób, aby z każdego miasta wychodziło po \(\displaystyle{ 5}\) dróg prowadzących do \(\displaystyle{ 5}\) innych miast?

A co to są grafy?

kerajs pisze:

2:    

Dla jednego punktu są cztery trójkąty. Każdy dodany punkt leży w jednym z trójkątów i dzieli go na trzy trójkąty. Szukana ilość trójkątów:
\(\displaystyle{ il(n)=(n+1) \cdot 2}\)

To jest blef. Nie każdy taki układ możesz tak budować poprzez dorzucanie po jednym punkcie. Narysuj se dowolny trójkąt wewnątrz kwadratu, a potem odpowiednio połącz jego wierzchołki z wierzchołkami kwadratu. Niemniej odpowiedź poprawna, bo ciężko aby była zła .

Jaki blef? Podział który wskazałem zawsze można wykonać i z niego łatwo można wyliczyć ilość uzyskanych trójkątów. Nigdzie nie napisałem że to jedyny sposób podziału.
Przyznaję, wskazana nieścisłość jest słabością rozwiązania, jednak wtedy cały post był napisany na szybko i wyłącznie dla żartu, aby zdążyć przed zalewem rozwiązań (lub linków do rozwiązań) z użyciem grafów.

A skąd wiesz, że to jedyna możliwa odpowiedź? Może jakimiś innymi podziałami da się uzyskać jakąś inną wartość? Takie rozumowanie może być dobre na Kangurze, gdzie trzeba jedynie dojść do dobrej odpowiedzi i zaznaczyć dobry kwadracik, ale jako dowód matematyczny jest niewiele warte.

Alternatywne podejście do zadania 3: