Matematyka.pl

Dla uproszczenia pominę te stałe, bo od nich nie zależy to czy całkę da się policzyć, czy też nie.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} \dd x}\) -zróżniczkujmy \(\displaystyle{ x}\), a całkujmy \(\displaystyle{ xe^{-x^2}}\), dostajemy
\(\displaystyle{ ... = - \frac{1}{2} xe^{-x^2} |_{0}^{\infty} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \dd x}\), a wynik tej drugiej całki jest znany.

Tak jak mówię, pominąłem stałe, bo je można łatwo zlikwidować podstawieniem. Mnie się nie chciało z tym bawić - w każdym razie całka \(\displaystyle{ \int_{\RR}^{} x^2 e^{Cx^2}}\) jest możliwa do policzenia.

Swoją drogą to, że jest \(\displaystyle{ e^{-x^2}}\) nie znaczy, że całki nie da się policzyć. Przecież wynik całki z tego wyrażenia po \(\displaystyle{ \RR}\) jest znany i to nie w postaci przybliżonej, a dokładnej. Całki oznaczone są bardziej podatne na wszelkiego rodzaju tricki